Question

【題目】小聰與小明在一張矩形臺球桌ABCD邊打臺球，該球桌長AB=4m，寬AD=2m，點O、E分別為AB、CD的中點，以AB、OE所在的直線建立平面直角坐標系。

（1）如圖1，M為BC上一點；

①小明要將一球從點M擊出射向邊AB，經反彈落入D袋，請你畫出AB上的反彈點F的位置；

②若將一球從點M(2，12)擊出射向邊AB上點F(0.5，0)，問該球反彈后能否撞到位于(-0.5，0.8)位置的另一球?請說明理由

（2）如圖2，在球桌上放置兩個擋板(厚度不計)擋板MQ的端點M在AD中點上且MQ⊥AD，MQ=2m，擋板EH的端點H在邊BC上滑動，且擋板EH經過DC的中點E；

①小聰把球從B點擊出，后經擋板EH反彈后落入D袋，當H是BC中點時，試證明：DN=BN；

②如圖3，小明把球從B點擊出，依次經擋板EH和擋板MQ反彈一次后落入D袋，已知∠EHC=75°，請你直接寫出球的運動路徑BN+NP+PD的長。

Answer 1

【答案】（1）①答案見解析 ②答案見解析 （2）①證明見解析 ②

【解析】

（1）①根據反射的性質畫出圖形，可確定出點F的位置；②過點H作HG⊥AB于點G，利用點H的坐標，可知HG的長，利用矩形的性質結合已知可求出點B，C的坐標，求出BM，BF的長，再利用銳角三角函數的定義，去證明tan∠MFB=tan∠HFG，即可證得∠MFB=∠HFG，即可作出判斷；

（2）①連接BD，過點N作NT⊥EH于點N，交AB于點T，利用三角形中位線定理可證得EH∥BD，再證明MQ∥AB，從而可證得∠DNQ=∠BNQ，∠DQN=∠NQB，利用ASA證明△DNQ≌△BNQ，然后利用全等三角形的性質，可證得結論；②作點B關于EH對稱點B＇，過點B＇作B＇G⊥BC交BC的延長線于點G，連接B＇H，B＇N，連接AP，過點B＇作B＇L⊥x軸于點L，利用軸對稱的性質，可證得AP=DP，NB＇=NB，∠BHN=∠NHB＇根據反射的性質，易證AP，NQ，NC在一條直線上，從而可證得BN+NP+PD=AB＇，再利用鄰補角的定義，可求出∠B＇HG=30°，作EK=KH，利用等腰三角形的性質，及三角形外角的性質，求出∠CKH的度數，利用解直角三角形表示出KH，CK的長，由BC=2，建立關于x的方程，解方程求出x的值，從而可得到CH，B＇H的長，利用解直角三角形求出GH，BH的長，可得到點B＇的坐標，再求出AL，B＇L的長，然后在Rt△AB＇L中，利用勾股定理就可求出AB＇的長.

（1）解： ①如圖1，

②答：反彈后能撞到位于(-0.5，0.8)位置的另一球

理由：如圖，設點H（-0.5，0.8），過點H作HG⊥AB于點G，

∴HG=0.8

∵矩形ABCD，點O，E分別為AB，CD的中點，AD=2，AB=4，

∴OB=OA=2，BC=AD=OE=2

∴點B（2，0），點C（2，2）,

∵ 點M(2，1.2)，點F(0.5，0)，

∴BF=2-0.5=1.5，BM=1.2，

FG=0.5-（-0.5）=1

在Rt△BMF中，

tan∠MFB=，

在Rt△FGH中，

tan∠HFG=，

∴∠MFB=∠HFG，

∴反彈后能撞到位于(-0.5，0.8)位置的另一球 .

（2）解：①連接BD，過點N作NT⊥EH于點N，交AB于點T，

∴∠TNE=∠TNH=90°，

∵小聰把球從B點擊出，后經擋板EH反彈后落入D袋，

∴∠BNH=∠DNE，

∴∠DNQ=∠BNQ；

∵點M是AD的中點，MQ⊥EO，

∴MQ∥AB，

∴點Q是BD的中點，

∴NT經過點Q；

∵點E，H分別是DC，BC的中點，

∴EH是△BCD的中位線，

∴EH∥BD

∵NT⊥EH

∴NT⊥BD；

∴∠DQN=∠NQB=90°

在span>△DNQ和△BNQ中，

∴△DNQ≌△BNQ（ASA）

∴DN=BN

②作點B關于EH對稱點B＇，過點B＇作B＇G⊥BC交BC的延長線于點G，連接B＇H，B＇N，連接AP，過點B＇作B＇L⊥x軸于點L，

∴AP=DP，NB＇=NB，∠BHN=∠NHB＇

由反射的性質，可知AP，NQ，NC在一條直線上，

∴BN+NP+PD=NB＇+NP+AP=AB＇；

∵∠EHC=75°，∠EHC+∠BHN=180°，

∴∠BHN=180°-75°=105°，

∴∠NHB＇=∠EHC+∠B＇HG=105°

∴∠B＇HG=30°;

如圖，作EK=KH，

在Rt△ECH中，∠EHC=75°，

∴∠E=90°-75°=15°，

∴∠E=∠KHE=15°

∴∠CKH=∠E+∠KHE=15°+15°=30°，

∵設CH=x，則KH=2x，CK=

∴

解之：x=，

∴CH=

∴BH=B＇H=BC-CH=2-（）=；

在Rt△B＇GH中，

B＇G=;

GH=B＇Hcos∠B＇HG=（）×；

BG=BH+GH=

∴點B＇的橫坐標為：，

∴點B＇；

∴AL=，

B＇L=

在Rt△AB＇L中，

AB＇=

∴ 球的運動路徑BN+NP+PD的長為.