Question

【題目】如圖，四邊形ABCD是正方形，點E是BC邊上一動點（不與B、C重合）．連接AE，過點E作EF⊥AE，交DC于點F．

（1）求證：△ABE∽△ECF；
（2）連接AF，試探究當點E在BC什么位置時，∠BAE=∠EAF，請證明你的結論．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠B=∠C=90°，

∴∠BAE+∠BEA=90°，

∵EF⊥AE，

∴∠AEF=90°，

∴∠BEA+∠FEC=90°，

∴∠BAE=∠FEC，

∴△ABE∽△ECF；

（2）

證明：E是中點時，∠BAE=∠EAF，

理由如下：

連接AF，延長AE于DC的延長線相交于點H，

∵E為BC中點，

∴BE=CE，

∵AB∥DH，

∴∠B=∠ECH，

∵∠AEB=∠CEH，

∴△ABE≌△HCE，

∴AE=EH，

∵EF⊥AH，

∴△AFH是等腰三角形，

∴∠EAF=∠H，

∵AB∥DH，

∴∠H=∠BAE，

∴∠BAE=∠EAF，

∴當點E在BC中點位置時，∠BAE=∠EAF．

【解析】（1）有正方形的性質和已知條件證明∠BAE=∠FEC即可證明：△ABE∽△ECF；（2）連接AF，延長AE于DC的延長線相交于點H，當點E在BC中點位置時，通過證明三角形全等和等腰三角形的性質以及平行線的性質即可證明∠BAE=∠EAF．
【考點精析】利用正方形的性質和相似三角形的判定與性質對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知正方形四個角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角；正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形；正方形的對角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形；相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方．