Question

【題目】如圖，正方形兩條對角線、交于，過任作一直線與邊，交于，，的垂直平分線與邊，交于，．設正方形的面積為，四邊形的面積為．

（1）求證：四邊形是正方形；

（2）若，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）．

【解析】

(1)先根據正方形的性質和垂直平分線的定義證明≌，可得,再根據等邊對等角證明，同理可證，由此可證四邊形是矩形，而又，所以可證矩形是正方形．

(2)設，則，根據勾股定理表示，即可表示，再根據函數最值結合圖形，即可確定的取值范圍．

解：（1）證明：∵四邊形為正方形，

∴AC⊥BD，∠OAQ=∠ODN=45°，OA=OD，

∴∠AOQ+∠DOQ=90°，

∵垂直平分線段，

∴∠QON=90°，，

∴∠DON+∠DOQ=90°,

∴∠DON=∠AOQ，

在△AOQ和△DON中，

∵

∴≌，

∴，

∴，

同理可得，

∴，

∴四邊形是矩形，而，

∴四邊形是正方形．

（2）∵≌，

∴AQ=DN，

設，則，

∴

而，

∴．