Question

（2013•奉賢區一模）如圖，已知在四邊形ABCD中，AC⊥AB，BD⊥CD，AC與BD相交于點E，S_△AED=9，S_△BEC=25．
（1）求證：∠DAC=∠CBD；
（2）求cos∠AEB的值．

Answer 1

分析：（1）先由∠BAC=∠BDC=90°與∠AEB=∠DEC，證得△ABE∽△DCE；即可證得

AE

BE

=

DE

EC

，又由∠AED=∠BEC，證得△AED∽△BEC，故可得出∠DAC=∠CBD；
（2）由（1）知△AED∽△BEC，根據相似三角形面積的比等于相似比的平方，即可求得AE與BE的比值，由銳角三角函數的定義即可得出結論．

解答：（1）證明：∵AC⊥AB，BD⊥CD，
∴∠BAC=∠BDC=90°，
又∵∠AEB=∠DEC，
∴△ABE∽△DCE，
∴

AE

DE

=

BE

EC

，即

AE

BE

=

DE

EC

，
又∵∠AED=∠BEC，
∴△AED∽△BEC，
∴∠DAC=∠CBD；

（2）解：∵△AED∽△BEC，S_△AED=9，S_△BEC=25，
∴

AE

BE

=

9 25

=

3

5

，
∴在Rt△ABE中，cos∠AEB=

AE

BE

=

3

5

．

點評：本題考查的是相似三角形的判定與性質，先根據題意得出△ABE∽△DCE是解答此題的關鍵．