Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=ax2+bx+4經過A（﹣3，0）、B（4，0）兩點，且與y軸交于點C，點D在x軸的負半軸上，且BD=BC，有一動點P從點A出發，沿線段AB以每秒1個單位長度的速度向點B移動，同時另一個動點Q從點C出發，沿線段CA以某一速度向點A移動．

（1）求該拋物線的解析式；
（2）若經過t秒的移動，線段PQ被CD垂直平分，求此時t的值；
（3）該拋物線的對稱軸上是否存在一點M，使MQ+MA的值最��？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵拋物線y=ax2+bx+4經過A（﹣3，0），B（4，0）兩點，

∴ ，解得 ，

∴所求拋物線的解析式為：y=﹣ x2+ x+4

（2）解：如圖1，依題意知AP=t，連接DQ，

∵A（﹣3，0），B（4，0），C（0，4），

∴AC=5，BC=4 ，AB=7．

∵BD=BC，

∴AD=AB﹣BD=7﹣4 ，

∵CD垂直平分PQ，

∴QD=DP，∠CDQ=∠CDP．

∵BD=BC，

∴∠DCB=∠CDB．

∴∠CDQ=∠DCB．

∴DQ∥BC．

∴△ADQ∽△ABC．

∴ = ，

∴ = ，

∴ = ，

解得DP=4 ﹣ ，

∴AP=AD+DP= ．

∴線段PQ被CD垂直平分時，t的值為 ；

（3）解：如圖2，設拋物線y=﹣ x2+ x+4的對稱軸x= 與x軸交于點E．點A，B關于對稱軸x= 對稱，連接BQ交該對稱軸于點M．

則MQ+MA=MQ+MB，即MQ+MA=BQ，

∵當BQ⊥AC時，BQ最小，此時，∠EBM=∠ACO，

∴tan∠EBM=tan∠ACO= ，

∴ = ，

∴ = ，解ME= ．

∴M（ ， ），即在拋物線y=﹣ x2+ x+4的對稱軸上存在一點M（ ， ），使得MQ+MA的值最小

【解析】（1）利用待定系數法，把A、B坐標代入解析式，得到方程組，求出a、b即可；（2）由垂直平分線性質和已知條件可得出△ADQ∽△ABC，對應邊成比例，求出DP，進而求出AP=AD+DP，即可求出時間t;（2）要求MQ+MA的值最小，可采用對稱法，MQ+MA可轉化為MQ+MB，MQ+MA=BQ，即求BQ的最小值，當BQ⊥AC時，BQ最小，可利用tan∠EBM=tan∠ACO= ,列出等式，求出M縱坐標.