Question

【題目】如圖，已知四邊形ABCD中，E是對角線AC上一點，DE=EC，以AE為直徑的⊙O與CD相切于點D，點B在⊙O上，連接OB．

（1）求證：DE=OE；

（2）若CD∥AB，求證：BC是⊙O的切線．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析

【解析】

(1)先判斷出∠2+∠3=90°，再判斷出∠1=∠2即可得出結論；
(2)根據等腰三角形的性質得到∠3=∠COD=∠DEO=60°，根據平行線的性質得到∠4=∠1，根據全等三角形的性質得到∠CBO=∠CDO=90°，于是得到結論；

(1)如圖，連接OD，

∵CD是⊙O的切線，
∴OD⊥CD，
∴∠2+∠3=∠1+∠COD=90°，
∵DE=EC，
∴∠1=∠2，
∴∠3=∠COD，
∴DE=OE；
(2)∵OD=OE，
∴OD=DE=OE，
∴∠3=∠COD=∠DEO=60°，
∴∠2=∠1=30°，
∵AB∥CD，
∴∠4=∠1，
∴∠1=∠2=∠4=∠OBA=30°，
∴∠BOC=∠DOC=60°，

在△CDO與△CBO中，

，

∴△CDO≌△CBO(SAS)，
∴∠CBO=∠CDO=90°，
∴OB⊥BC，
∴BC是⊙O的切線；