Question

【題目】如圖，是的直徑，弦于點，交于點，連結、、，若．

求證：直線為的切線；

若，，求線段的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）利用圓周角定理結合等腰三角形的性質得出∠OCF+∠DCB=90°，即可得出答案；

（2）利用圓周角定理得出∠ACB=90°，利用相似三角形的判定與性質得出DC的長．

（1）連接OC．

∵∠CEA=∠CBA，∠AEC=∠ODC，∴∠CBA=∠ODC．

又∵∠CFD=∠BFO，∴∠DCB=∠BOF．

∵CO=BO，∴∠OCF=∠B．

∵∠B+∠BOF=90°，∴∠OCF+∠DCB=90°，∴直線CD為⊙O的切線；

（2）連接AC．

∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°，∴∠DCO=∠ACB．

又∵∠D=∠B，∴△OCD∽△ACB．

∵∠ACB=90°，AB=5，BC=4，∴AC=3，∴=，即=，解得：DC=．