Question

【題目】如圖，是⊙的直徑，，點、在⊙上，、的延長線交于點，且，，有以下結論：①；②劣弧的長為；③點為的中點；④平分，以上結論一定正確的是______．

Answer 1

【答案】①②③

【解析】

①根據圓內接四邊形的外角等于其內對角可得∠CBE＝∠ADE，根據等邊對等角得出∠CBE＝∠E，等量代換即可得到∠ADE＝∠E；

②根據圓內接四邊形的外角等于其內對角可得∠A＝∠BCE＝70，根據等邊對等角以及三角形內角和定理求出∠AOB＝40，再根據弧長公式計算得出劣弧的長；

③根據圓周角定理得出∠ACD＝90，即AC⊥DE，根據等角對等邊得出AD＝AE，根據等腰三角形三線合一的性質得出∠DAC＝∠EAC，再根據圓周角定理得到點C為的中點；

④由DB⊥AE，而∠A≠∠E，得出BD不平分∠ADE．

①∵ABCD是⊙O的內接四邊形，

∴∠CBE＝∠ADE，

∵CB＝CE，

∴∠CBE＝∠E，

∴∠ADE＝∠E，故①正確；

②∵∠A＝∠BCE＝70，

∴∠AOB＝40，

∴劣弧的長＝，故②正確；

③∵AD是⊙O的直徑，

∴∠ACD＝90，即AC⊥DE，

∵∠ADE＝∠E，

∴AD＝AE，

∴∠DAC＝∠EAC，

∴點C為的中點，故③正確；

④∵DB⊥AE，而∠A≠∠E，

∴BD不平分∠ADE，故④錯誤．

所以正確結論是①②③．

故答案為①②③．