Question

【題目】如圖所示，某工程隊準備在山坡（山坡視為直線l）上修一條路，需要測量山坡的坡度，即tanα的值．測量員在山坡P處（不計此人身高）觀察對面山頂上的一座鐵塔，測得塔尖C的仰角為31°，塔底B的仰角為26.6°．已知塔高BC=40米，塔所在的山高OB=240米，OA=300米，圖中的點O、B、C、A、P在同一平面內．

求：
（1）P到OC的距離．
（2）山坡的坡度tanα．
（參考數據sin26.6°≈0.45，tan26.6°≈0.50；sin31°≈0.52，tan37°≈0.60）

Answer 1

【答案】
（1）

解：如圖，過點P作PD⊥OC于D，PE⊥OA于E，則四邊形ODPE為矩形．

在Rt△PBD中，∵∠BDP=90°，∠BPD=26.6°，

∴BD=PDtan∠BPD=PDtan26.6°；

在Rt△CPD中，∵∠CDP=90°，∠CPD=31°，

∴CD=PDtan∠CPD=PDtan31°；

∵CD﹣BD=BC，

∴PDtan31°﹣PDtan26.6°=40，

∴0.60PD﹣0.50PD=40，

解得PD=400（米），

∴P到OC的距離為400米

（2）

解：在Rt△PBD中，BD=PDtan26.6°≈400×0.50=200（米），

∵OB=240米，

∴PE=OD=OB﹣BD=40米，

∵OE=PD=400米，

∴AE=OE﹣OA=400﹣300=100（米），

∴tanα= =0.4，

∴坡度為0.4．

【解析】（1）過點P作PD⊥OC于D，PE⊥OA于E，則四邊形ODPE為矩形，先解Rt△PBD，得出BD=PDtan26.6°；解Rt△CPD，得出CD=PDtan31°；再根據CD﹣BD=BC，列出方程，求出PD=400即可求得點P到OC的距離；（2）利用求得的線段PD的長求出PE=40，AE=100，然后在△APE中利用三角函數的定義即可求解．