Question

【題目】如圖，拋物線y= x2+mx+n與直線y=﹣ x+3交于A，B兩點，交x軸與D，C兩點，連接AC，BC，已知A（0，3），C（3，0）．

（1）求拋物線的解析式和tan∠BAC的值；
（2）在（1）條件下，P為y軸右側拋物線上一動點，連接PA，過點P作PQ⊥PA交y軸于點Q，問：是否存在點P使得以A，P，Q為頂點的三角形與△ACB相似？若存在，請求出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】解：（1）把A（0，3），C（3，0）代入y= x2+mx+n，得

，

解得： ．

∴拋物線的解析式為y= x2﹣ x+3．

聯立 ，

解得： 或 ，

∴點B的坐標為（4，1）．

過點B作BH⊥x軸于H，如圖1．∵C（3，0），B（4，1），

∴BH=1，OC=3，OH=4，CH=4﹣3=1，∴BH=CH=1．

∵∠BHC=90°，∴∠BCH=45°，BC= ．

同理：∠ACO=45°，AC=3 ，

∴∠ACB=180°﹣45°﹣45°=90°，

∴tan∠BAC= ；

（2）存在點P，使得以A，P，Q為頂點的三角形與△ACB相似．

過點P作PG⊥y軸于G，

則∠PGA=90°．

設點P的橫坐標為x，由P在y軸右側可得x＞0，則PG=x．

∵PQ⊥PA，∠ACB=90°，∴∠APQ=∠ACB=90°．

若點G在點A的下方，

①如圖2①，當∠PAQ=∠CAB時，則△PAQ∽△CAB．

∵∠PGA=∠ACB=90°，∠PAQ=∠CAB，∴△PGA∽△BCA，

∴ ．

∴AG=3PG=3x．

則P（x，3﹣3x）．把P（x，3﹣3x）代入y= x2﹣ x+3，得： x2﹣ x+3=3﹣3x，

整理得：x2+x=0，解得：x1=0（舍去），x2=﹣1（舍去）．

②如圖2②，

當∠PAQ=∠CBA時，則△PAQ∽△CBA．

同理可得：AG= PG= x，則P（x，3﹣ x），

把P（x，3﹣ x）代入y= x2﹣ x+3，得： x2﹣ x+3=3﹣ x，

整理得：x2﹣ x=0，解得：x1=0（舍去），x2= ，∴P（ ， ）；

若點G在點A的上方，

①當∠PAQ=∠CAB時，則△PAQ∽△CAB，

同理可得：點P的坐標為（11，36）．

②當∠PAQ=∠CBA時，則△PAQ∽△CBA．

同理可得：點P的坐標為P（ ， ）．

綜上所述：滿足條件的點P的坐標為（11，36）、（ ， ）、（ ， ）．

【解析】（1）將點A、B的坐標代入拋物線的解析式得到關于m、n的方程組，從而可求得m、n；過點B作BH⊥OH，先求得點C的坐標，然后再證明△AOC和△BHC為等腰直角三角形，從而可求得∠ACB=90°，然后依據勾股定理可求得AC、BC的長，最后依據銳角三角函數的定義可求得答案。
（2）過點P作PG⊥OA，當G在點A的下方時，分為∠PAQ=∠CAB和∠PAQ=∠CBA兩種情況，當點G在點A的上方，分為∠PAQ=∠CAB和∠PAQ=∠CBA兩情況分類計算即可．.
【考點精析】通過靈活運用二次函數圖象的平移和相似三角形的判定與性質，掌握平移步驟：（1）配方 y=a(x-h)2+k，確定頂點（h,k）（2）對x軸左加右減；對y軸上加下減；相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方即可以解答此題．