Question

【題目】定義: 對于平面直角坐標系xOy上的點P(a, b) 和拋物線, 我們稱P(a, b)是拋物線的相伴點, 拋物線是點P(a, b) 的相伴拋物線．

如圖，已知點A(-2, -2)，B(4, -2)，C(1, 4)．

(1) 點A的相伴拋物線的解析式為 　 ；過A, B兩點的拋物線的相伴點坐標為 　 ；

(2) 設點P(a, b) 在直線AC上運動:

①點P(a, b)的相伴拋物線的頂點都在同一條拋物線Ω上, 求拋物線Ω的解析式．

②當點P(a, b)的相伴拋物線的頂點落在△ABC 內部時, 請直接寫出 a 的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1)y=x2-2x-2;P(-2,-10)；（2）①y=-x2-4x+2；②．

【解析】

（1）a=b=﹣2，故拋物線的表達式為：y=x2﹣2x﹣2．

故答案為：y=x2﹣2x﹣2；將點A、B坐標代入y=x2+ax+b并解得：a=﹣2，b=﹣10；

（2）①直線AC的表達式為：y=2x+2，設點P(m，2m+2)，則拋物線的表達式為：y=x2+mx+2m+2，頂點為：(m，m2+2m+2)，即可求解；

②如圖所示，Ω拋物線落在△ABC內部為EF段，即可求解．

（1）a=b=﹣2，故拋物線的表達式為：y=x2﹣2x﹣2．

故答案為：y=x2﹣2x﹣2；

將點A、B坐標代入y=x2+ax+b得：，解得：a=﹣2，b=﹣10．

故答案為：(﹣2，﹣10)；

（2）①由點A、C的坐標得：直線AC的表達式為：y=2x+2，

設點P(m，2m+2)，則拋物線的表達式為：y=x2+mx+2m+2，

頂點為：(m，m2+2m+2)，

令xm，則m=﹣2x，

則ym2+2m+2=﹣x2﹣4x+2，

即拋物線Ω的解析式為：y=﹣x2﹣4x+2；

②如圖所示，Ω拋物線落在△ABC內部為EF段，

拋物線與直線AC的交點為點E(0，2)；

當y=﹣2時，即y=﹣x2﹣4x+2=﹣2，解得：x=﹣2，

故點F(﹣2，﹣2)；

故0＜x＜﹣2+2，由①知：a=m=﹣2x，

故：4﹣4a＜0．