Question

【題目】如圖，已知直線l：y＝﹣1和拋物線L：y＝ax2+bx+c（a≠0），拋物線L的頂點為原點，且經過點A(2,)，直線y＝kx+1與y軸交于點F，與拋物線L交于點B（x1，y1），C（x2，y2），且x1＜x2．

（1）求拋物線L的解析式；

（2）點P是拋物線L上一動點．

①以點P為圓心，PF為半徑作⊙P，試判斷⊙P與直線l的位置關系，并說明理由；

②若點Q（2，3），當|PQ﹣PF|的值最小時，求點P的坐標；

（3）求證：無論k為何值，直線l總是與以BC為直徑的圓相切．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2；（2）①點⊙P與直線l的位置關系為相切；理由見解析；②點P的坐標為（2，3）；（3）見解析.

【解析】

（1）拋物線的表達式為：y=ax2，將點A坐標代入上式，即可求解；
（2）①點F（0，1），設：點P（m，m2），則PF=m2+1，而點P到直線l的距離為：m2+1，即可求解；②當點P、Q、F三點共線時，|PQ-PF|最小，即可求解；
（3）x2-x1= =4，設直線BC的傾斜角為α，則tanα=k，則cosα= ，則BC= =4（k2+1），則BC=2k2+2，設BC的中點為M（2k，2k2+1），則點M到直線l的距離為：2k2+2，即可求解．

（1）拋物線的表達式為：y=ax2，
將點A坐標代入上式得：=a（2）2，解得：a=，
故拋物線的表達式為：y=x2①；
（2）①點F（0，1），設：點P（m，m2），
則PF=m2+1=m2+1，
而點P到直線l的距離為：m2+1，
則⊙P與直線l的位置關系為相切；
②當點P、Q、F三點共線時，|PQ-PF|最小，
將點FQ的坐標代入一次函數表達式：y=kx+b并解得：
直線FQ的函數表達式為：y=x+1…②，
聯立①②并解得：x=2，
故點P的坐標為：（2，3）；
（3）將拋物線的表達式與直線y=kx+1聯立并整理得：
x2-4kx-4=0，
則x1+x2=4k，x1x2=-4，
則y1+y2=k（x1+x2）+2=4k2+2，
則x2-x1==4，
設直線BC的傾斜角為α，則tanα=k，則cosα=，則BC==4（k2+1），則BC=2k2+2，
設BC的中點為M（2k，2k2+1），則點M到直線l的距離為：2k2+2，
故直線l總是與以BC為直徑的圓相切．