Question

【題目】平面直角坐標系中，直線l1：y=﹣ x+3與x軸交于點A，與y軸交于點B，直線l2：y=kx+2k與x軸交于點C，與直線l1交于點P．
（1）當k=1時，求點P的坐標；
（2）如圖1，點D為PA的中點，過點D作DE⊥x軸于E，交直線l2于點F，若DF=2DE，求k的值；

（3）如圖2，點P在第二象限內，PM⊥x軸于M，以PM為邊向左作正方形PMNQ，NQ的延長線交直線l1于點R，若PR=PC，求點P的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）解：當k=1時，直線l2為y=x+2．

解方程組 ，

解得 ，

∴P（ ， ）；

（2）解：當y=0時，kx+2k=0，

∵k≠0，

∴x=﹣2，

∴C（﹣2，0）則OC=2，

當y=0時，﹣ x+3=0，

∴x=6，

∴A（6，0），OA=6，

過點P作PG⊥DF于點G，

在△PDG和△ADE中，

，

∴△PDG≌△ADE，

得DE=DG= DF，

∴PD=PF，

∴∠PFD=∠PDF

∵∠PFD+∠PCA=90°，∠PDF+∠PAC=90°

∴∠PCA=∠PAC，

∴PC=PA

過點P作PH⊥CA于點H，

∴CH= CA=4，

∴OH=2，

當x=2時，y=﹣ ×2+3=2代入y=kx+2k，得k=

（3）解：直角△PQR和直角△PMC中，

，

∴Rt△PMC≌Rt△PQR，

∴CM=RQ，

∴NR=NC，

設NR=NC=a，則R（﹣a﹣2，a），

代入y=﹣ x+3，

得﹣ （﹣a﹣2）+3=a，解得a=8，

設P（m，n），則 ，

解得 ，

∴P（﹣ ， ）．

【解析】（1）解兩個函數解析式組成的方程組即可求解；（2）過點P作PG⊥DF于點G，易證△PDG≌△ADE，點P作PH⊥CA于點H，可以證明H是AC的中點，則H的坐標即可求得，進而求得P的坐標，進而求得k的值；（3）Rt△PMC≌Rt△PQR，則RQ=MC，設NR=NC=a，則R（﹣a﹣2，a），代入y=﹣ x+3，求得a的值，設P（m，n），根據P在直線l1上和RQ=MC即可列方程組求解．