Question

【題目】在菱形ABCD中，∠BAD=α，E為對角線AC上的一點（不與A，C重合），將射線EB繞點E順時針旋轉β角之后，所得射線與直線AD交于F點．試探究線段EB與EF的數量關系．小宇發現點E的位置，α和β的大小都不確定，于是他從特殊情況開始進行探究．

（1）如圖1，當α=β=90°時，菱形ABCD是正方形．小宇發現，在正方形中，AC平分∠BAD，作EM⊥AD于M，EN⊥AB于N．由角平分線的性質可知EM=EN，進而可得△EMF≌△ENB，并由全等三角形的性質得到EB與EF的數量關系為 ．
（2）如圖2，當α=60°，β=120°時，
①依題意補全圖形；
②請幫小宇繼續探究（1）的結論是否成立．若成立，請給出證明；若不成立，
請舉出反例說明；
（3）小宇在利用特殊圖形得到了一些結論之后，在此基礎上對一般的圖形進行了探究，設∠ABE=γ，若旋轉后所得的線段EF與EB的數量關系滿足（1）中的結論，請直接寫出角α，β，γ滿足的關系：

Answer 1

【答案】
（1）EB=EF
（2）

解：①補全圖形如圖2所示，

②結論依然成立EB=EF；

證法1：如圖3，

過點E作EM⊥AF于M，EN⊥AB于N．

∵四邊形ABCD為菱形，

∴∠CAD=∠CAB．

∵EM⊥AF，EN⊥AB．

∴∠FME=∠N=90°，EM=EN，

∵∠BAD=60°，∠BEF=120°，

∴∠F+∠ABE=360°﹣∠BAD﹣∠BEF=180°．

∵∠ABE+∠EBN=180°，

∴∠F=∠EBN；

在△EFM與△EBN中，

∴△EFM≌△EBN．

∴EF=EB；

證法2：如圖4，連接ED

∵四邊形ABCD是菱形，

∴AD=AB，∠DAC=∠BAE．

又∵AE=AE，

∴△ADE≌△ABE．

∴ED=EB，∠ADE=∠ABE，

又∵∠DAB=60°，∠BEF=120°．

∴∠F+∠ABE=180°．

又∵∠ADE+∠FDE=180°，

∴∠F=∠FDE．

∴EF=ED．

∴EF=EB．

（3）α+β=180°或 °
【解析】解：（1）EB=EF，所以答案是：EB=EF；（3）

如圖3，由（2）的證法1知，△FEM≌△BEN，
∴∠FEM=∠BEN，
∴∠BEF=∠MEN，
在四邊形AMEN中，∠BAC+∠MEN=180°，
∴∠BAC+∠BEF=180°，
∴α+β=180°
如圖4，

由（2）的證法2知，△ADE≌△ABE，
∴∠ADE=∠ABE=γ，∠DAE=∠BAE= ，∠AEB=∠AED= ，
根據三角形的內角和得，∠ADE+∠DAE+∠AED=180°，
∴ °．
所以答案是：α+β=180°或 °．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用菱形的性質的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握菱形的四條邊都相等；菱形的對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角；菱形被兩條對角線分成四個全等的直角三角形；菱形的面積等于兩條對角線長的積的一半．