Question

【題目】如圖，直線與軸交于點，與軸交于點，拋物線經過、兩點．

（1）求拋物線的解析式；

（2）若是拋物線上一點，且點坐標為，點為拋物線對稱軸上一點，求的最小值；

（3）點為直線上的動點，點為拋物線上的動點，當以點、、、為頂點的四邊形是平行四邊形時，求點的坐標．

Answer 1

【答案】（1）；（2）QP＋QA的最小值為；（3）滿足條件的點M的坐標為或或．

【解析】

（1）先通過直線與軸交于點，與軸交于點計算出A、B點的坐標，再代入計算即可；

（2）根據對稱性知A點關于拋物線對稱軸的對稱點是，連接PC，則QP＋QA的最小值就是PC，從而計算即可；

（3）根據平行四邊形的性質分為以OB為邊和對角線兩種情況分類討論計算．

（1）∵直線與x軸交于點A，與y軸交于點B

∴A（2，0），B（0，1）

∵拋物線y＝－x2＋bx＋c經過A、B兩點

∴

∴

∴拋物線解析式為

（2）如解圖①，由（1）知，拋物線解析式為

∴拋物線的對稱軸為直線，

拋物線與x軸的另一交點為

∵點A與點C關于對稱軸對稱

∴QP＋QA的最小值

就是

（3）①OB為平行四邊形的邊時，MN＝OB，MN∥OB

∵點N在直線AB上

∴設

∴

∴

Ⅰ．－m2＋2m＝1

解得，m＝1

∴

Ⅱ．－m2＋2m＝－1

解得，

∴或

②當OB為對角線時，OB與MN互相平分，交點為H，

∴OH＝BH，MH＝NH，

∵B（0，1），O（0，0），

∴，

設，，

∴，

∴或，

∴或；

即：滿足條件的點M的坐標為或或．