Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中拋物線交x軸于點A、B，交y軸于點C， A、B兩點橫坐標為-1和3，C點縱坐標為-4.

（1）求拋物線的解析式；

（2）動點D在第四象限且在拋物線上，當△BCD面積最大時，求D點坐標，并求△BCD面積的最大值；

（3）拋物線的對稱軸上是否存在一點Q，使得∠QBC=45°，如果存在，求出點Q的坐標，不存在說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）D（，-5），最大值；（3）（1，）.

【解析】

（1）將A，B，C三點坐標代入拋物線，即可求出；

（2）作DH垂直AB于H，設D點坐標為（x，y），則有OC=4，OB=3，OH=x，HD=-y，由 ，，化簡即可出；

（3）由函數關系式：化簡得對稱軸為，作出對稱軸，交x軸于F點，連接CB，交對稱軸于E點，求出BC的函數解析式，則可以知道E點坐標為：（1，），所以存在一點Q，使得∠QBC=45°，并且點Q在FE之間，設Q點坐標為：（1，），求出線段 的斜率，線段 的斜率 ，利用兩直線相交交角為，得到，化簡即可。

解：（1）由圖像可知：A，B，C，三點的坐標分別是（-1，0），（3，0），（0，-4），

將A，B，C三點坐標代入拋物線

得： ，解之得：

∴拋物線的解析式為：；

（2）如圖，作DH垂直AB于H，設D點坐標為（x，y），

則有：OC=4，OB=3，OH=x，HD=-y，HB=3-x，

∴梯形CDHO為直角梯形，

∴

即：

又∵D點在拋物線上，

∴

∴當時，△BCD面積有最大值，是，

∴

所以D點坐標為：（，-5）；

（3）由函數關系式：化簡得：，

∴對稱軸為：，

如圖示：作出對稱軸，交x軸于F點，連接CB，交對稱軸于E點，

∴由B，C，的坐標分別是（3，0），（0，-4），設BC的函數解析式為：

則： ，解之得：

∴BC的函數解析式為：，當時，，

∴E點坐標為：（1，），

∴BF=2，FE=，

∴ ，

即：

∴存在一點Q，使得∠QBC=45°，并且點Q在FE之間，

設Q點坐標為：（1，）

∴， ，

∵直線BQ和BC的交角為，

∴

即：

化簡得： ，

∴Q點坐標為：（1，）