Question

【題目】如圖，和是的半徑，并且，是上任一點，的延長線交于點，過點的的切線交延長線于點．

求證：；

若，試求的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析； （2）．

【解析】

（1）要證明RP=RQ，需要證明∠PQR=∠RPQ，連接OQ，則∠OQR=90°；根據OB=OQ，得∠B=∠OQB，再根據等角的余角相等即可證明；

（2）延長AO交圓于點C，首先根據勾股定理求得BP的長，再根據相交弦定理求得QP的長即可．

（1）證法一：

連接OQ．

∵RQ是⊙O的切線，∴∠OQB+∠BQR=90°．

∵OA⊥OB，∴∠OPB+∠B=90°．

又∵OB=OQ，∴∠OQB=∠B，∴∠PQR=∠BPO=∠RPQ，∴RP=RQ．

證法二：

作直徑BC，連接CQ．

∵BC是⊙O的直徑，∴∠B+∠C=90°．

∵OA⊥OB，∴∠B+∠BPO=90°，∴∠C=∠BPO．

又∵∠BPO=∠RPQ，∴∠C=∠RPQ．

又∵RQ為⊙O的切線，∴∠PQR=∠C，∴∠PQR=∠RPQ，∴RP=RQ．

（2）解法一：

作直徑AC．

∵OP=PA=1，∴PC=3．

由勾股定理，得：BP==．

由相交弦定理，得：PQPB=PAPC，即PQ×=1×3，∴PQ=．

解法二：

作直徑AE，過R作RF⊥BQ，垂足為F，設RQ=RP=x；

由切割線定理，得：x2=（x﹣1）（x+3）

解得：x=．

∵∠BOP=∠RFP=90°，∠BPO=∠RPF，∴△BPO∽△RPF，∴，∴PF=，由等腰三角形性質得：PQ=2PF=．