Question

如圖等腰梯形ABCD中，AB=4，CD=9，∠C=60°，動點P從點C出發沿CD方向向點D運動，動點Q同時以相同速度從點D出發沿DA方向向終點A運動，其中以個動點到達端點時，另一個動點也隨之停止運動
（1）求AD的長；
（2）設CD=x，問當x為何值時△PDQ的面積達到最大？并求出最大值．

Answer 1

分析：（1）可通過構建直角三角形來求解：過A作AE⊥CD于E．那么可在直角三角形AED中根據兩底的差和∠D的度數來求出AD的長．
2）可通過求△PDQ的面積與x的函數關系式來得出△PDQ的最大值．由于P、Q速度相同，因此CP=QD=x，那么可用x表示出PD，而△PQD中，PD邊上的高=QD•sin60°，由此可根據三角形的面積公式求出S_△PQD與x之間的函數關系式，可根據函數的性質求出S的最大值以及對應的x的值．

解答：解：（1）如圖1
過A作AE⊥CD，垂足為E．
依題意，DE=

9-4

2

=

5

2

．
在Rt△ADE中，AD=

DE

cos60°

=

5

2

×2=5；
（2）如圖1
∵CP=x，h為PD邊上的高，依題意，
△PDQ的面積S可表示為：
S=

1

2

PD•h=

1

2

（9-x）•x•sin60°
=

3

4

（9x-x²）
=-

3

4

（x-

9

2

）²+

81 3

16

．（0≤x≤5）
∴a=-

3

4

＜0，
∴當x=

9

2

時（滿足0≤x≤5），S_最大值=

81 3

16

．

點評：本題考查了學生的分析作圖能力和考查學生綜合運用平行線、等腰梯形、等邊三角形、菱形、二次函數等知識．這里設計了一個開放的、動態的數學情境，為學生靈活運用基礎知識、分析問題、解決問題留下了廣闊的探索、創新的思維空間．