Question

【題目】對于給定的函數，自變量取x1，x2時，對應的函數值分別記為y1，y2．自變量取時．對應的函數值記為，例如一次函數y＝2x+1，自變量取x1，x2時，對應的函數值分別為y1＝2x1+1，y2＝2x2+1，自變量取時，對應的函數值為＝2+1，若對于給定的函數，自變量取x1，x2（x1≠x2）時，總有，則稱函數為凸凸函數．對于給定的函數總有，則稱函數為凹凹函數．對于給定的函數總有，則稱函數為平平函數．

（1）求證：函數y＝2x是平平函數；

（2）判斷函數y＝ax2是凸凸函數，凹凹函數還是平平函數．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）凸凸函數，理由見解析

【解析】

（1）當自變量取，時，對應的函數值分別為，，當自變量取時，對應的函數值為，于是得到，即可得到結論；

（2）當自變量取，時，對應的函數值分別為，，求得，當自變量取時，對應的函數值為，根據凸凸函數，凹凹函數的定義即可得到結論．

解：（1）證明：當自變量取，時，對應的函數值分別為，，

當自變量取時，對應的函數值為，

，

，

函數是平平函數；

（2）解：當自變量取，時，對應的函數值分別為，，

，

當自變量取時，對應的函數值為，

，

，，

當時，，

，則函數為凹凹函數．

當時，，

，則函數為凸凸函數．