Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，AB=3，點E為邊CD上一點，將△ADE沿AE所在直線翻折，得到△AFE，點F恰好是BC的中點，M為AF上一動點，作MN⊥AD于N，則BM+AN的最小值為____．

Answer 1

【答案】．

【解析】

根據矩形的性質得到∠BAD=∠ABC=90°，BC=AD，由折疊的性質得到AF=AD，∠FAE=∠DAE，求得∠BAF=30°，∠DAF=60°，得到∠BAF=∠FAE，過B作BG⊥AF交AE于G，則點B與點G關于AF對稱，過G作GH⊥AB于H交AF于M，則此時，BM+MH的值最小，推出△ABG是等邊三角形，得到AG=BG=AB=5，根據勾股定理即可得到結論．

解：∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠BAD=∠ABC=90°，BC=AD．

∵將△ADE沿AE所在直線翻折，得到△AFE，

∴AF=AD，∠FAE=∠DAE．

∵點F恰好是BC的中點，

∴BF，

∴∠BAF=30°，

∴∠DAF=60°，

∴∠FAE，

∴∠BAF=∠FAE，

過B作BG⊥AF交AE于G，則點B與點G關于AF對稱，

過G作GH⊥AB于H交AF于M，

則此時，BM+MH的值最小．

∵MN⊥AD，

∴四邊形AHMN是矩形，

∴AN=HM，

∴BM+MH=BM+AN=HG．

∵AB=AG，∠BAG=60°，

∴△ABG是等邊三角形，

∴AG=BG=AB=5，

∴，

∴HG，

∴BM+AN的最小值為．

故答案為：．