Question

（10分）已知關于x的方程X²+2KX+K²+2K-2=0．
（1）若這個方程有實數根，求k的取值范圍；
（2）若以方程X²+2KX+K²+2K-2=0的兩個根為橫坐標、縱坐標的點恰在反比例函數的
圖象上，求滿足條件的m的最小值．

Answer 1

K≤1   m=-3

分析：
（1）若一元二次方程有實數根，則根的判別式△=b2-4ac≥0，建立關于k的不等式，求出k的取值范圍．
（2）寫出兩根之積，兩根之積等于m，進而求出m的最小值。
解答：
（1）由題意得△=（2k）2-4×（k2+2k-2）≥0
化簡得-4k+8≥0，解得k≤1。
（2）設方程X²+2KX+K²+2K-2=0的兩個根為x₁，x₂，
根據題意得m=x₁?x₂，
又由一元二次方程根與系數的關系得x₁x₂=k²+2k-2，
那么m=k²+2k-2=（k+1）²-3，
所以，當k=-1時，m取得最小值-3。
點評：一元二次方程根的判別式和根與系數的關系，是一個綜合性的題目，也是一個難度中等的題目．總結：一元二次方程根的情況與判別式△的關系：（1）△＞0?方程有兩個不相等的實數根；（2）△=0?方程有兩個相等的實數根；（3）△＜0?方程沒有實數根。