Question

【題目】如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c經過點A（﹣3，0），B（9，0）和C（0，4）．CD垂直于y軸，交拋物線于點D，DE垂直與x軸，垂足為E，l是拋物線的對稱軸，點F是拋物線的頂點．

（1）求出二次函數的表達式以及點D的坐標；
（2）若Rt△AOC沿x軸向右平移到其直角邊OC與對稱軸l重合，再沿對稱軸l向上平移到點C與點F重合，得到Rt△A1O1F，求此時Rt△A1O1F與矩形OCDE重疊部分的圖形的面積；
（3）若Rt△AOC沿x軸向右平移t個單位長度（0＜t≤6）得到Rt△A2O2C2 ， Rt△A2O2C2與Rt△OED重疊部分的圖形面積記為S，求S與t之間的函數表達式，并寫出自變量t的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵拋物線y=ax2+bx+c經過點A（﹣3，0），B（9，0）和C（0，4）．

∴設拋物線的解析式為y=a（x+3）（x﹣9），

∵C（0，4）在拋物線上，

∴4=﹣27a，

∴a=﹣ ，

∴設拋物線的解析式為y=﹣ （x+3）（x﹣9）=﹣ x2+ x+4，

∵CD垂直于y軸，C（0，4）

∴﹣ x2+ x+4=4，

∴x=6，

∵D（6，4），

（2）

解：如圖1，

∵點F是拋物線y=﹣ x2+ x+4的頂點，

∴F（3， ），

∴FH= ，

∵GH∥A1O1，

∴ ，

∴ ，

∴GH=1，

∵Rt△A1O1F與矩形OCDE重疊部分是梯形A1O1HG，

∴S重疊部分=S△A1O1F﹣S△FGH= A1O1×O1F﹣ GH×FH= ×3×4﹣ ×1× =

（3）

②當3＜t≤6時，如圖3，

∵C2H∥OC，

∴ ，

∴ ，

∴C2H= （6﹣t），

∴S=S四邊形A2O2HG=S△A2O2C2﹣S△C2GH

= OA×OC﹣ C2H×（t﹣3）

= ×3×4﹣ × （6﹣t）（t﹣3）

= t2﹣3t+12

∴當0＜t≤3時，S= t2，當3＜t≤6時，S= t2﹣3t+12

【解析】（1）用待定系數法求拋物線解析式；（2）由GH∥A1O1 ， 求出GH=1，再求出FH，S重疊部分=S△A1O1F﹣S△FGH計算即可；（3）分兩種情況①直接用面積公式計算，②用面積差求出即可．此題是二次函數綜合題，主要考查了待定系數法求函數解析式，平行線分線段成比例定理，三角形的面積計算，解本題的關鍵是畫出圖形．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用三角形的面積和平行線分線段成比例的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握三角形的面積=1/2×底×高；三條平行線截兩條直線，所得的對應線段成比例．