Question

【題目】閱讀下列短文：

如圖，G是四邊形ABCD對角線AC上一點，過G作GE∥CD交AD于E，GF∥CB交AB于F，若EG=FG，則有BC=CD成立，同時可知四邊形ABCD與四邊形AFGE相似．

解答問題：

（1）有一塊三角形空地（如圖△ABC），BC鄰近公路，現需在此空地上修建一個正方形廣場，其余地為草坪，要使廣場一邊靠公路，且其面積最大，如何設計，請你在下面圖中畫出此廣場正方形．（尺規作圖，不寫作法）

（2）銳角△ABC是一塊三角形余料，邊AB=130mm，BC=150mm，AC=140mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一邊在三角形的一邊上，其余兩個頂點分別在另外兩條邊上，且剪去正方形零件后剩下的邊角料較少，這個正方形零件的邊長是多少？你能得出什么結論，并證明你的結論．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【解析】試題分析：（1）先在AB上任取一點O，過O作BC的垂線，然后作出以OM為一邊的正方形OMNP，連接BP并延長交AC于點E，過點E作BC的垂線交BC于點H，再以EH為邊作正方形EFGH即可；

（2）過A作AD⊥BC于點D，在Rt△ABD與Rt△ACD中，根據AD是公共邊利用勾股定理列式求出BD的長，再利用勾股定理求出AD的長，然后利用△ABC的面積求出AB、AC邊上的高，設正方形的邊長為a，根據相似三角形對應高的比等于對應邊的比列出比例式求解得到正方形的邊長與三角形的邊與相應邊上的高的關系，然后判斷出當邊與邊上的高的和最小時，正方形的邊長最大，剪去正方形零件后剩下的邊角料較少，然后計算即可得解．

試題解析：（1）如圖；

（2）如圖，過A作AD⊥BC于點D，則CD=BC﹣BD=150﹣BD，

在Rt△ABD中，AD2=AB2﹣BD2=1302﹣BD2，

在Rt△ACD中，AD2=AC2﹣CD2=1402﹣（150﹣BD）2，

所以，1302﹣BD2=1402﹣（150﹣BD）2，

解得BD==66，

所以，AD2=1302﹣662=12544，

AD=112mm，

設AB、AC邊上的高分別為hAB，hAC，

則S△ABC=×130×hAB=×140×hAC=×150×112，

解得hAB=129mm，hAC=120mm，

設正方形的邊長為a，

∵EF∥BC，

∴△AEF∽△ABC，

∴，

即，

整理得，a=，

∵BCAD是△ABC面積的2倍，

∴BC+AD，也就是三角形一條邊與這條邊上的高的和越小，則加工成的正方形的邊長越大，面積也就是越大，剪去正方形零件后剩下的邊角料較少，

130+129=259mm，

140+120=260mm，

150+112=262mm，

∵259＜260＜262，

∴有兩個頂點在AB=130mm邊上加工成的正方形的面積最大，

這個正方形的邊長為=64mm．

結論：正方形的一條邊在三角形的哪一條邊上，則正方形的邊長等于這條邊與這條邊上的高的積除以它們的和，并且最短邊上的正方形的邊長最大．