Question

【題目】探究：如圖①，在矩形ABCD中，以點A為直角頂點作Rt△AEF，連結BE、DF，直線DF交直線BE于點G，DG與AB交于點H，且．

（1）求證：△ABE∽△ADF．

（2）求證：DG⊥BE；

拓展：如圖②，在ABCD中，以點A為頂點作∠EAF＝∠BAD，連結BE、DF，直線DF交直線BE于點G，且，若∠BCD＝130°，則∠EGD的大小為　 　度．

Answer 1

【答案】（1）△ABE∽△ADF；（2）50．

【解析】

探究：（1）根據矩形的性質得到∠BAD=90°，根據余角的性質得到∠EAB=∠DAF，根據相似三角形的判定定理即可得到結論；

（2）根據相似三角形的性質得到∠ADF=∠ABE，根據對頂角相等得到∠AHD=∠BHG，根據三角形的內角和即可得到結論；拓展：根據平行四邊形的性質得到AB∥CD，AD∥BC，求得∠ABC=180°-∠C=50°，∠ADF=∠2，根據相似三角形的性質得到∠ADF=∠3，根據三角形的內角和和平角的定義即可得到結論．

探究：（1）在矩形ABCD中，

∵∠BAD＝90°，

∵∠AEF＝90°，

∴∠EAB+∠BAF＝∠DAF+∠BAF＝90°，

∴∠EAB＝∠DAF，

∵，

∴△ABE∽△ADF；

（2）∵△ABE∽△ADF，

∴∠ADF＝∠ABE，

設AB與DG的交點為H，

∵∠AHD＝∠BHG，

∴∠BGH＝180°﹣∠ABG﹣∠BHG＝180°﹣∠AHF﹣∠ADF＝∠BAD＝90°，

∴DG⊥BE；

拓展：在ABCD中，

∵AB∥CD，AD∥BC，

∴∠ABC＝180°﹣∠C＝50°，∠ADF＝∠2，

∵∠EAF＝∠BAD，

∴∠EAF﹣∠BAF＝∠BAD﹣∠BAF，

即∠EAB＝∠DAF，

∵，

∴△ABE∽△ADF，

∴∠ADF＝∠3，

∴∠2＝∠3，

∵∠ABC＝180°﹣∠GBC﹣∠3，∠EGD＝180°﹣∠GBD﹣∠2，

∴∠EGD＝∠ABC＝50°，

故答案為：50．