Question

如圖，拋物線F：的頂點為P，拋物線：與y軸交于點A，與直線OP交于點B．過點P作PD⊥x軸于點D，平移拋物線F使其經過點A、D得到拋物線F′：，拋物線F′與x軸的另一個交點為C．

⑴當a = 1，b=－2，c = 3時，求點C的坐標(直接寫出答案)；
⑵若a、b、c滿足了
①求b：b′的值；
②探究四邊形OABC的形狀，并說明理由．

Answer 1

解：（1） C（3，0）；
（2）①拋物線，令=0，則=，
∴A點坐標（0，c）．
∵，∴ ，
∴點P的坐標為（）．
∵PD⊥軸于D，∴點D的坐標為（）．
根據題意，得a=a′，c= c′，∴拋物線F′的解析式為．
又∵拋物線F′經過點D（），∴．
∴．
又∵，∴．
∴b:b′=．
②由①得，拋物線F′為．
令y=0，則．
∴．
∵點D的橫坐標為∴點C的坐標為（）．
設直線OP的解析式為．
∵點P的坐標為（），
∴，∴，∴．
∵點B是拋物線F與直線OP的交點，∴．
∴．
∵點P的橫坐標為，∴點B的橫坐標為．
把代入，得．
∴點B的坐標為．
∴BC∥OA，AB∥OC．（或BC∥OA，BC =OA），
∴四邊形OABC是平行四邊形．
又∵∠AOC=90°，∴四邊形OABC是矩形．

（1）先求出拋物線解析式，再根據平移的特征即可得到點C的坐標；
（2）①根據拋物線頂點坐標的表達式及拋物線與坐標軸的交點坐標的特征即可得到結果；
②根據拋物線與坐標軸的交點坐標及拋物線與直線OP的交點坐標的特征即可得到結果；