Question

【題目】如圖，點為等邊三角形內一點，且，則的最小值為______．

Answer 1

【答案】

【解析】

以CD為邊在CD的右側作等邊三角形CDE，連接AE，結合等邊三角形ABC可證△ACE≌△BCD，進而可證得∠AED＝∠AEC－∠CED＝60°，過點A作AF⊥BE于點F，利用三角函數還可求得，再根據AD與AF的大小關系可得即，進而求得答案．

解：如圖，以CD為邊在CD的右側作等邊三角形CDE，連接AE，

∵△CDE和△ABC為等邊三角形，

∴CD＝CE，AC＝BC，∠DCE＝∠ACB＝∠CDE＝∠CED＝60°，

∵∠BDC＝120°，

∴∠BDC＋∠CDE＝180°，

∴點B、D、E在同一直線上，

∵∠DCE＝∠ACB，

∴∠DCE－∠ACD＝∠ACB－∠ACD，

即∠ACE＝∠BCD，

在△ACE與△BCD中，

∴△ACE≌△BCD（SAS），

∴AE＝BD，∠AEC＝∠BDC＝120°，

∴∠AED＝∠AEC－∠CED＝60°，

過點A作AF⊥BE于點F，

在Rt△AFE中，sin∠AEF＝，

則sin60°＝，

當點D不與點F重合時，AD＞AF，

則，

當點D與點F重合時，AD＝AF，

則，

∴，

∴，

∴的最小值為，

故答案為：．