Question

拋物線交軸于、兩點，交軸于點,已知拋物線的對稱軸為，

,，

（1）求二次函數的解析式；

（2）   在拋物線對稱軸上是否存在一點，使點到、兩點距離之差最大？若存在，求出點坐標；若不存在，請說明理由；

（3）   平行于軸的一條直線交拋物線于兩點，若以為直徑的圓恰好與軸相切，求此圓的半徑．

 

 

 

Answer 1

【答案】

（1）將代入，

   得 ．

   將，代入，

得 ．……….(1)

 

∵是對稱軸，

∴．          (2)

將（2）代入（1）得

，    ．

所以，二次函數得解析式是．

（2）與對稱軸的交點即為到的距離之差最大的點．

∵點的坐標為，點的坐標為，

∴ 直線的解析式是，

又對稱軸為，

∴ 點的坐標．   

（3）設、，所求圓的半徑為r，

則 ，…………….(1)

     ∵ 對稱軸為，

∴  ．        …………….(2)

由（1）、（2）得：．……….(3)

將代入解析式，

得  ，………….(4)

整理得： ．

由于 r=±y，當時，，

解得， ，  （舍去），

當時，，

解得，  ，  （舍去）．

    所以圓的半徑是或．

【解析】（1）根據拋物線過C點，可得出c=-3，對稱軸x=1，則-=1，然后可將B點坐標代入拋物線的解析式中，聯立由對稱軸得出的關系式即可求出拋物線的解析式．

（2）本題的關鍵是要確定P點的位置，由于A、B關于拋物線的對稱軸對稱，因此可連接AC，那么P點就是直線AC與對稱軸的交點．可根據A、C的坐標求出AC所在直線的解析式，進而可根據拋物線對稱軸的解析式求出P點的坐標．

（3）根據圓和拋物線的對稱性可知：圓心必在對稱軸上．因此可用半徑r表示出M、N的坐標，然后代入拋物線中即可求出r的值．