Question

拋物線交軸于、兩點，交軸于點，頂點為.

1.（1）寫出拋物線的對稱軸及、兩點的坐標（用含的代數式表示）

2.（2）連接并以為直徑作⊙，當時，請判斷⊙是否經過點，并說明理由；

3.（3）在（2）題的條件下，點是拋物線上任意一點，過作直線垂直于對稱軸，垂足為. 那么是否存在這樣的點，使△與以、、為頂點的三角形相似？若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由.

 

Answer 1

【答案】

 

1.（1）過點C作CH⊥軸，垂足為H

 ∵在Rt△OAB中，∠OAB＝90⁰，∠BOA＝30⁰，AB＝2    ∴OB＝4，OA＝

 由折疊知，∠COB＝30⁰，OC＝OA＝

∴∠COH＝60⁰，OH＝，CH＝3    ∴C點坐標為（，3）

2.（2）∵拋物線（≠0）經過C（，3）、A（，0）兩點

               ∴      解得：

    ∴此拋物線的解析式為：

3.（3）存在.  因為的頂點坐標為（，3）即為點C，MP⊥軸，設垂足為N，PN＝，因為∠BOA＝30⁰，所以ON＝ ，  ∴P（，）

        作PQ⊥CD，垂足為Q，ME⊥CD，垂足為E

把代入得：

         ∴ M（，），E（，）

         同理：Q（，），D（，1）

         要使四邊形CDPM為等腰梯形，只需CE＝QD

         即，解得：，（舍）

        ∴ P點坐標為（，）

∴ 存在滿足條件的點P，使得四邊形CDPM為等腰梯形，此時P點的坐為（，）      （12分）

 

【解析】略