Question

【題目】已知：一次函數y=﹣2x+10的圖象與反比例函數（k＞0）的圖象相交于A，B兩點（A在B的右側）．

（1）當A（4，2）時，求反比例函數的解析式及B點的坐標；
（2）在1的條件下，反比例函數圖象的另一支上是否存在一點P，使△PAB是以AB為直角邊的直角三角形？若存在，求出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由．
（3）當A（a，﹣2a+10），B（b，﹣2b+10）時，直線OA與此反比例函數圖象的另一支交于另一點C，連接BC交y軸于點D．若，求△ABC的面積．

Answer 1

【答案】
（1）

【解答】解：把A（4，2）代入，得k=4×2=8．

∴反比例函數的解析式為．

解方程組，得

或，

∴點B的坐標為（1，8）；

（2）

①若∠BAP=90°，

過點A作AH⊥OE于H，設AP與x軸的交點為M，如圖1，

對于y=﹣2x+10，

當y=0時，﹣2x+10=0，解得x=5，

∴點E（5，0），OE=5．

∵A（4，2），∴OH=4，AH=2，

∴HE=5﹣4=1．

∵AH⊥OE，∴∠AHM=∠AHE=90°．

又∵∠BAP=90°，

∴∠AME+∠AEM=90°，∠AME+∠MAH=90°，

∴∠MAH=∠AEM，

∴△AHM∽△EHA，

∴，

∴，

∴MH=4，

∴M（0，0），

可設直線AP的解析式為y=mx

則有4m=2，解得m=，

∴直線AP的解析式為y=x，

解方程組，得

或，

∴點P的坐標為（﹣4，﹣2）．

②若∠ABP=90°，

同理可得：點P的坐標為（﹣16，）．

綜上所述：符合條件的點P的坐標為（﹣4，﹣2）、（﹣16，）；

（3）

過點B作BS⊥y軸于S，過點C作CT⊥y軸于T，連接OB，如圖2，

則有BS∥CT，

∴△CTD∽△BSD，

∴．

∵，

∴．

∵A（a，﹣2a+10），B（b，﹣2b+10），

∴C（﹣a，2a﹣10），CT=a，BS=b，

∴=，即b=a．

∵A（a，﹣2a+10），B（b，﹣2b+10）都在反比例函數的圖象上，

∴a（﹣2a+10）=b（﹣2b+10），

∴a（﹣2a+10）=a（﹣2×a+10）．

∵a≠0，

∴﹣2a+10=（﹣2×a+10），

解得：a=3．

∴A（3，4），B（2，6），C（﹣3，﹣4）．

設直線BC的解析式為y=px+q，

則有，

解得：，

∴直線BC的解析式為y=2x+2．

當x=0時，y=2，則點D（0，2），OD=2，

∴S△COB=S△ODC+S△ODB

=ODCT+ODBS

=×2×3+×2×2=5．

∵OA=OC，

∴S△AOB=S△COB，

∴S△ABC=2S△COB=10．

【解析】（1）只需把點A的坐標代入反比例函數的解析式，就可求出反比例函數的解析式；解一次函數與反比例函數的解析式組成的方程組，就可得到點B的坐標；
（2）△PAB是以AB為直角邊的直角三角形，可分兩種情況討論：①若∠BAP=90°，過點A作AH⊥OE于H，設AP與x軸的交點為M，如圖1，易得OE=5，OH=4，AH=2，HE=1．易證△AHM∽△EHA，根據相似三角形的性質可求出MH，從而得到點M的坐標，然后用待定系數法求出直線AP的解析式，再解直線AP與反比例函數的解析式組成的方程組，就可得到點P的坐標；②若∠ABP=90°，同理即可得到點P的坐標；
（3）過點B作BS⊥y軸于S，過點C作CT⊥y軸于T，連接OB，如圖2，易證△CTD∽△BSD，根據相似三角形的性質可得．由A（a，﹣2a+10），B（b，﹣2b+10），可得C（﹣a，2a﹣10），CT=a，BS=b，即可得到=，即b=a．由A、B都在反比例函數的圖象上可得a（﹣2a+10）=b（﹣2b+10），把b=a代入即可求出a的值，從而得到點A、B、C的坐標，運用待定系數法求出直線BC的解析式，從而得到點D的坐標及OD的值，然后運用割補法可求出S△COB ， 再由OA=OC可得S△ABC=2S△COB ， 問題得以解決．
【考點精析】認真審題，首先需要了解確定一次函數的表達式(確定一個一次函數，需要確定一次函數定義式y=kx+b（k不等于0）中的常數k和b．解這類問題的一般方法是待定系數法)，還要掌握相似三角形的判定與性質(相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方)的相關知識才是答題的關鍵．