Question

【題目】如圖1，已知正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象都經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（﹣2，﹣1），且P（﹣1，﹣2）為雙曲線上的一點(diǎn)，Q為坐標(biāo)平面上一動(dòng)點(diǎn)，PA垂直于x軸，QB垂直于y軸，垂足分別是A、B．

（1）寫(xiě)出正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的關(guān)系式；

（2）當(dāng)點(diǎn)Q在直線MO上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線MO上是否存在這樣的點(diǎn)Q，使得△OBQ與△OAP面積相等？如果存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)，如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（3）如圖2，當(dāng)點(diǎn)Q在第一象限中的雙曲線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，作以OP、OQ為鄰邊的平行四邊形OPCQ，求平行四邊形OPCQ周長(zhǎng)的最小值．

Answer 1

【答案】（1）y＝x，；（2）存在，Q1（2，1）和Q2（﹣2，﹣1）；（3）2+4

【解析】

（1）正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象都經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（-2，-1），待定系數(shù)法可求它們解析式；
（2）由點(diǎn)Q在y＝x上，設(shè)出Q點(diǎn)坐標(biāo)，表示△OBQ，由反比例函數(shù)圖象性質(zhì)，可知△OAP面積為1，則根據(jù)面積相等可構(gòu)造方程，問(wèn)題可解；

（3）因?yàn)樗倪呅蜲PCQ是平行四邊形，所以O(shè)P=CQ，OQ=PC，而點(diǎn)P（-1，-2）是定點(diǎn)，所以O(shè)P的長(zhǎng)也是定長(zhǎng)，所以要求平行四邊形OPCQ周長(zhǎng)的最小值就只需求OQ的最小值．

解：（1）設(shè)正比例函數(shù)解析式為y＝kx，

將點(diǎn)M（﹣2，﹣1）坐標(biāo)代入得k＝，所以正比例函數(shù)解析式為y＝x，

同樣可得，反比例函數(shù)解析式為；

（2）當(dāng)點(diǎn)Q在直線OM上運(yùn)動(dòng)時(shí)，

設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為Q（m，m），

于是S△OBQ＝OBBQ＝×m×m＝m2，

而S△OAP＝|（﹣1）×（﹣2）|＝1，

所以有，m2＝1，解得m＝±2，

所以點(diǎn)Q的坐標(biāo)為Q1（2，1）和Q2（﹣2，﹣1）；

（3）因?yàn)樗倪呅?/span>OPCQ是平行四邊形，所以OP＝CQ，OQ＝PC，

而點(diǎn)P（﹣1，﹣2）是定點(diǎn)，所以OP的長(zhǎng)也是定長(zhǎng)，

所以要求平行四邊形OPCQ周長(zhǎng)的最小值就只需求OQ的最小值，

因?yàn)辄c(diǎn)Q在第一象限中雙曲線上，所以可設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為Q（n，），

由勾股定理可得OQ2＝n2+＝（n﹣）2+4，

所以當(dāng)（n﹣）2＝0即n＝0時(shí)，OQ2有最小值4，

又因?yàn)?/span>OQ為正值，所以OQ與OQ2同時(shí)取得最小值，

所以OQ有最小值2，由勾股定理得OP＝，

所以平行四邊形OPCQ周長(zhǎng)的最小值是2（OP+OQ）＝2（+2）＝2+4．

（或因?yàn)榉幢壤�函�?shù)是關(guān)于y＝x對(duì)稱，所以當(dāng)Q在反比例函數(shù)時(shí)候，OQ最短的時(shí)候，就是反比例與y＝x的交點(diǎn)時(shí)候，聯(lián)立方程組即可得到點(diǎn)Q坐標(biāo)）