Question

16．如圖，已知A，B，C分別是⊙O上的點，∠B=60°，P是直徑CD的延長線上的一點，且AP=AC．
（1）求證：AP與⊙O相切；
（2）如果AC=3，求PD的長．

Answer 1

分析 （1）連結OA、AD，如圖，利用圓周角定理得到∠CAD=90°，∠ADC=∠B=60°，則∠ACD=30°，再利用AP=AC得到∠P=∠ACD=30°，接著根據圓周角定理得∠AOD=2∠ACD=60°，然后根據三角形內角和定理可計算出∠OAP=90°，于是根據切線的判定定理可判斷AP與⊙O相切；
（2）在Rt△OPA中利用含30度的直角三角形三邊的關系得到OA=$\frac{\sqrt{3}}{3}$AP=$\sqrt{3}$，PO=2OA=2$\sqrt{3}$，然后計算PO-OD即可．

解答 （1）證明：連結OA、AD，如圖，
∵CD為直徑，
∴∠CAD=90°，
∵∠ADC=∠B=60°，
∴∠ACD=30°，
∵AP=AC，
∴∠P=∠ACD=30°，
∵∠AOD=2∠ACD=60°，
∴∠OAP=180°-60°-30°=90°，
∴OA⊥PA，
∴AP與⊙O相切；
（2）解：PA=AC=2，
在Rt△OPA中，∵∠P=30°，
∴OA=$\frac{\sqrt{3}}{3}$AP=$\sqrt{3}$，
∵PO=2OA=2$\sqrt{3}$，
∴PD=PO-OD=2$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了切線的判定定理：經過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．記住含30度的直角三角形三邊的關系．