Question

19．如圖，AB為半圓O的直徑，直線CE與半圓O相切于點C，點D是$\widehat{AC}$的中點，CB=4，四邊形ABCD的面積為2$\sqrt{2}$AC，則圓心O到直線CE的距離是4$\sqrt{2}$-2．

Answer 1

分析 如圖連接OD交AC于G，連接OC，根據S_{四邊形ADCB}=S_△ADC+S_△ABC，得到$\frac{1}{2}$•AC•DG+$\frac{1}{2}$•AC•BC=2$\sqrt{2}$AC，求出DG=2$\sqrt{2}$-4，OD=DG+OG=4$\sqrt{2}$-2，由此即可解決問題．

解答 解：如圖連接OD交AC于G，連接OC．

∵$\widehat{AD}$=$\widehat{CD}$，
∴OD⊥AC，
∴AG=GC，∵OA=OB，
∴OG=$\frac{1}{2}$•BC=2，
∵S_{四邊形ADCB}=S_△ADC+S_△ABC，
∴$\frac{1}{2}$•AC•DG+$\frac{1}{2}$•AC•BC=2$\sqrt{2}$AC，
∴DG+4=4$\sqrt{2}$，
∴DG=2$\sqrt{2}$-4，
∴OD=DG+OG=4$\sqrt{2}$-2，
∵EC是切線，
∴OC⊥EC，
∴圓心O到直線CE的距離為4$\sqrt{2}$-2．
故答案為4$\sqrt{2}$-2．

點評 本題考查切線的性質、三角形的面積、三角形中位線定理等知識，解題的關鍵是學會用分割法求面積，屬于中考常考題型．