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【題目】在△ABC中,AB=CB,∠ABC=90°,F為AB延長線上一點,點E在BC上,且AE=CF.

(1)求證:Rt△ABE≌Rt△CBF

(2)若∠AEC=105°,求∠BCF的度數.

【答案】(1)見解析；(2)∠BCF=15°.

【解析】

（1）根據“HL”進行證明即可；

（2）利用三角形外角的性質求出∠BAE的度數，然后利用全等三角形的對應角相等即可得出答案．

（1）證明：∵∠ABC=90°，

∴∠ABC=∠CBF=90°，

在Rt△ABE和Rt△CBF中，

∵，

∴Rt△ABE≌Rt△CBF（HL）；

（2）解：∠BAE=∠AEC-∠ABC=105°-90°=15°，

∵Rt△ABE≌Rt△CBF，

∴∠BCF=∠BAE=15°．

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【題目】綜合與探究：

如圖在等邊三角形ABC中，線段AM為BC邊上的中線，動點D在直線AM上時，以CD為一邊在CD的下方作等邊三角形CDE，連接BE．

（1）填空：∠CAM＝　　；

（2）若點D在線段AM上時，求證：△ADC≌△BEC；

（3）當動點D在直線AM上時，設直線BE與直線AM的交點為O，

①當點D在線段AM上時，求∠AOB的度數；

②當動點D在直線AM上時，試判斷∠AOB是否為定值？并說明理由．

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【題目】如圖，已知二次函數y=﹣x2+bx+c（c＞0）的圖象與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C，且OB=OC=3，頂點為M．

（1）求二次函數的解析式；

（2）點P為線段BM上的一個動點，過點P作x軸的垂線PQ，垂足為Q，若OQ=m，四邊形ACPQ的面積為S，求S關于m的函數解析式，并寫出m的取值范圍；

（3）探索：線段BM上是否存在點N，使△NMC為等腰三角形？如果存在，求出點N的坐標；如果不存在，請說明理由．

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【題目】夏季空調銷售供不應求，某空調廠接到一份緊急訂單，要求在10天內（含10天）完成任務，為提高生產效率，工廠加班加點，接到任務的第一天就生產了空調42臺，以后每天生產的空調都比前一天多2臺，由于機器損耗等原因，當日生產的空調數量達到50臺后，每多生產一臺，當天生產的所有空調，平均每臺成本就增加20元.

（1）設第天生產空調臺，直接寫出與之間的函數解析式，并寫出自變量的取值范圍.

（2）若每臺空調的成本價（日生產量不超過50臺時）為2000元，訂購價格為每臺2920元，設第天的利潤為元，試求與之間的函數解析式，并求工廠哪一天獲得的利潤最大，最大利潤是多少.

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【題目】如圖，C是AB的垂直平分線EF上一點，連接CA，CB．以BC為直角邊作Rt△BCD，且CB＝CD，AD交EF于點H，BH交DC于點M．

（1）求證：∠HAC＝∠HBC＝∠HDC；

（2）判斷△DHB的形狀，并證明你的結論；

（3）若DH＝1，AH＝7，則BC＝．

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【題目】閱讀材料：大家知道是無理數是無限不循環小數，因此的小數部分我們不可能全部地寫出來，于是小明用來表示的小數部分，你同意小明的表示方法嗎？事實上，小明的表示方法是有道理的，因為的整數部分是1，將這個數減去其整數部分，差就是小數部分。又例如：因為,即，所以的整數部分為2，小數部分為,請解答下列問題：