Question

（2011•曲阜市模擬）（1）操作發(fā)現(xiàn)
如圖，矩形ABCD中，E是AD的中點(diǎn)，將△ABE沿BE折疊后得到△GBE，且點(diǎn)G在矩形ABCD內(nèi)部．小明將BG延長(zhǎng)交DC于點(diǎn)F，認(rèn)為GF=DF，你同意嗎？說(shuō)明理由．
（2）問(wèn)題解決
保持（1）中的條件不變，DC=2DF，求

AD

AB

的值．

Answer 1

分析：（1）連接EF，則AE=EG，可證明Rt△EGF≌Rt△EDF，則GF=DF，∠GEF=∠DEF，∠GFE=∠DFE，∠AEB=∠GEB，從而得出△EDF∽△BAE∽△BEF；
（2）設(shè)DF=x，BC=y，則有GF=x，AD=y．根據(jù)DC=2DF得到CF=x，DC=AB=BG=2x，BF=BG+GF=3x，然后利用勾股定理得到y(tǒng)與x之間關(guān)系，從而求得兩條線段的比．

解答：解：（1）同意．連接EF，則∠EGF=∠D=90°，
在Rt△EGF和Rt△EDF中

EG=ED EF=EF

∴Rt△EGF≌Rt△EDF（HL）．
∴GF=DF；

（2）由（1）知，GF=DF．設(shè)DF=x，BC=y，則有GF=x，AD=y．
∵DC=2DF，
∴CF=x，DC=AB=BG=2x，
∴BF=BG+GF=3x．
在Rt△BCF中，由勾股定理得：BC²+GF²=BF²，即y²+x²=（3x）²．
∴y=2

2

x
∴

AD

AB

=

y

2x

=

2

；

點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)以及翻折的性質(zhì)，難度較大．