Question

【題目】如圖1，矩形ABCD中，E是AD的中點，以點E直角頂點的直角三角形EFG的兩邊EF，EG分別過點B，C，∠F＝30°.

（1）求證：BE＝CE

（2）將△EFG繞點E按順時針方向旋轉，當旋轉到EF與AD重合時停止轉動.若EF，EG分別與AB，BC相交于點M，N.（如圖2）

①求證：△BEM≌△CEN；

②若AB＝2，求△BMN面積的最大值；

③當旋轉停止時，點B恰好在FG上（如圖3），求sin∠EBG的值.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）①詳見解析；②2；③.

【解析】

（1）只要證明△BAE≌△CDE即可；

（2）①利用（1）可知△EBC是等腰直角三角形，根據ASA即可證明；

②構建二次函數，利用二次函數的性質即可解決問題；

③如圖3中，作EH⊥BG于H．設NG=m，則BG=2m，BN=EN=m，EB=m．利用面積法求出EH，根據三角函數的定義即可解決問題.

（1）證明：如圖1中，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AB=DC，∠A=∠D=90°，

∵E是AD中點，

∴AE=DE，

∴△BAE≌△CDE，

∴BE=CE．

（2）①解：如圖2中，

由（1）可知，△EBC是等腰直角三角形，

∴∠EBC=∠ECB=45°，

∵∠ABC=∠BCD=90°，

∴∠EBM=∠ECN=45°，

∵∠MEN=∠BEC=90°，

∴∠BEM=∠CEN，

∵EB=EC，

∴△BEM≌△CEN；

②∵△BEM≌△CEN，

∴BM=CN，設BM=CN=x，則BN=4-x，

∴S△BMN=x（4-x）=-（x-2）2+2，

∵-＜0，

∴x=2時，△BMN的面積最大，最大值為2．

③解：如圖3中，作EH⊥BG于H．設NG=m，則BG=2m，BN=EN=m，EB=m．

∴EG=m+m=（1+）m，

∵S△BEG=EGBN=BGEH，

∴EH==m，

在Rt△EBH中，sin∠EBH=．