Question

【題目】（1）如圖1，△ABC 中，AC=BC，∠ACB=90°．請(qǐng)用直角三角尺（僅可畫直角或直線）在圖中畫出一個(gè)點(diǎn)P，使得∠APB=45°；

（2）如圖2，△ABC 中，AB=a，∠ACB=，請(qǐng)用直尺和圓規(guī)作出一個(gè)點(diǎn)Q，使點(diǎn)Q與點(diǎn)C在AB同側(cè)，QA=QB，∠AQB=；（不寫作法，保留作圖痕跡）

（3）如圖3，若 AC=BC=，∠ACB=90°，以點(diǎn)A為原點(diǎn)，直線AB 為 x 軸，過點(diǎn)A垂直于AB的直線為 y 軸，建立平面直角坐標(biāo)系，直線y= - x+b(b>0)交 x 軸于點(diǎn)M，交 y 軸于點(diǎn)N．當(dāng)點(diǎn)P在直線MN上，且∠APB=45°，求點(diǎn)P的個(gè)數(shù)及對(duì)應(yīng)的b的取值范圍；

（4）如圖4，△ABC 中，AB=a，∠ACB=，請(qǐng)用直尺和圓規(guī)作出點(diǎn)P，使得∠APB=且AP+BP最大，請(qǐng)簡(jiǎn)要說明理由．（不寫作法，保留作圖痕跡）

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為2個(gè)，當(dāng)或 時(shí)，點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為1個(gè)，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P有0個(gè)；（4）圖見解析，理由見解析

【解析】

（1）畫∠ABM=90°，延長(zhǎng)AC與BM交于點(diǎn)P，則∠APB=45°；

（2）作△ACB的外接圓與AB的垂直平分線交于點(diǎn)Q,則AQ=BQ,∠AQB=∠ACB=；

（3）以點(diǎn)C為圓心，AC長(zhǎng)為半徑畫圓，當(dāng)直線恰好與圓相切時(shí)，此時(shí)處于臨界點(diǎn)，求出此時(shí)b的值，然后通過對(duì)直線的平移即可確定b的取值范圍，通過平移后直線與圓的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)即可確定點(diǎn)P的個(gè)數(shù)；

（4）在問題（2）已作圖像基礎(chǔ)上，以點(diǎn)Q為圓心，AQ長(zhǎng)為半徑作圓，在 上取一點(diǎn) 即可滿足 ，然后延長(zhǎng) 交⊙Q于點(diǎn)F，連接FB，易證 ， ，當(dāng)AF 為直徑時(shí)最大，即點(diǎn)P為弧AB中點(diǎn)時(shí)最大．

解：(1)如圖：

（2）如圖：

(3)如圖，以點(diǎn)C為圓心，AC長(zhǎng)為半徑畫圓，當(dāng)直線恰好與圓相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為P，此時(shí) ,

，

，

，

，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為 ，

將點(diǎn)P代入中得，

解得 ．

當(dāng)直線恰好平移到與BC重合時(shí)，點(diǎn)B在直線上，將點(diǎn)B（2，0）代入中得， ，解得 ．

然后通過對(duì)直線的平移之后得到的新直線與圓的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)即可得出P點(diǎn)的個(gè)數(shù)，

當(dāng)時(shí)，不存在這樣的P點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，存在兩個(gè)P點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，雖然直線與圓有兩個(gè)交點(diǎn)，但是其中一個(gè)點(diǎn)不滿足題意，所以只存在一個(gè)P點(diǎn)．

綜上所述，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為2個(gè)，當(dāng)或 時(shí)，點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為1個(gè)，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P有0個(gè)，；

(4)如圖，

理由如下：

在問題（2）已作圖像基礎(chǔ)上，以點(diǎn)Q為圓心，AQ長(zhǎng)為半徑作圓，在 上取一點(diǎn) 即可滿足 ，然后延長(zhǎng) 交⊙Q于點(diǎn)F，連接FB，

,

當(dāng)AF 為直徑時(shí)最大，即點(diǎn)P為弧AB中點(diǎn)時(shí)最大