Question

【題目】（1）如圖，請證明∠A+∠B+∠C＝180°

（2）如圖的圖形我們把它稱為“8字形”，請證明∠A+∠B＝∠C+∠D

（3）如圖，E在DC的延長線上，AP平分∠BAD，CP平分∠BCE，猜想∠P與∠B、∠D之間的關系，并證明

（4）如圖，AB∥CD，PA平分∠BAC，PC平分∠ACD，過點P作PM、PE交CD于M，交AB于E，則①∠1+∠2+∠3+∠4不變；②∠3+∠4﹣∠1﹣∠2不變，選擇正確的并給予證明．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）∠P＝90°+（∠B+∠D）；（4）∠3+∠4﹣∠1﹣∠2不變正確．理由見解析

【解析】

（1）延長BC到D，過點C作CE∥BA，根據兩直線平行，同位角相等可得∠B＝∠1，兩直線平行，內錯角相等可得∠A＝∠2，再根據平角的定義列式整理即可得證；

（2）根據三角形內角和定理即可證明；

（3）根據（2）的結論∠B+∠BAD＝∠D+∠BCD，∠PAD+∠P＝∠D+∠PCD，然后整理即可得解；

（4）作PQ∥AB，根據平行線性質得到PQ∥CD，則∠APQ＝180°﹣∠3﹣∠4，∠5＝∠2，由于∠APQ+∠5+∠1＝90°，則180°﹣∠3﹣∠4+∠2+∠1＝90°，整理得到∠3+∠4﹣∠1﹣∠2＝90°．

（1）證明：如圖1，延長BC到D，過點C作CE∥BA，

∵BA∥CE，

∴∠B＝∠1，

∠A＝∠2，

又∵∠BCD＝∠BCA+∠2+∠1＝180°，

∴∠A+∠B+∠ACB＝180°；

（2）證明：如圖2，在△AOB中，∠A+∠B+∠AOB＝180°，

在△COD中，∠C+∠D+∠COD＝180°，

∵∠AOB＝∠COD，

∴∠A+∠B＝∠C+∠D；

（3）如圖3，

∵AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，

∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，

∵（∠1+∠2）+∠B＝（180°﹣2∠3）+∠D，

∠2+∠P＝（180°﹣∠3）+∠D，

∴2∠P＝180°+∠D+∠B，

∴∠P＝90°+（∠B+∠D）；

（4）②∠3+∠4﹣∠1﹣∠2不變正確．

理由如下：

作PQ∥AB，如圖4，

∵AB∥CD，

∴PQ∥CD，

由AB∥PQ得∠APQ+∠3+∠4＝180°，即∠APQ＝180°﹣∠3﹣∠4，

由PQ∥CD得∠5＝∠2，

∵∠APQ+∠5+∠1＝90°，

∴180°﹣∠3﹣∠4+∠2+∠1＝90°，

∴∠3+∠4﹣∠1﹣∠2＝90°．