Question

【題目】如圖，已知矩形 的邊長 ．某一時刻，動點 從 點出發沿 方向以 的速度向 點勻速運動；同時，動點 從 點出發沿 方向以 的速度向 點勻速運動，問：

（1）經過多少時間， 的面積等于矩形 面積的 ？
（2）是否存在時刻t，使以A,M,N為頂點的三角形與 相似？若存在，求t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：設經過 秒后， 的面積等于矩形 面積的 ，

則有： ，即 ，

解方程，得 ．

經檢驗，可知 符合題意，所以經過1秒或2秒后， 的面積等于矩形 面積的

（2）解：假設經過 秒時，以 為頂點的三角形與 相似，

由矩形 ，可得 ，

因此有 或

即 ①，或 ②．

解①，得 ；解②，得

經檢驗， 或 都符合題意，所以動點 同時出發后，經過 秒或 秒時，以 為頂點的三角形與 相似

【解析】（1）根據△AMN的面積等于矩形ABCD面積的，得到一元二次方程，求出它的解，求出時間；（2）根據相似三角形的判定方法，兩邊對應成比例且夾角相等，兩三角形相似；求出t的值；此題是綜合題，難度較大，計算和解方程時需認真仔細.