Question

1．如圖，在矩形OABC中，AO=10，AB=8，沿直線CD折疊矩形OABC的一邊BC，使點B落在OA邊上的點E處．分別以OC，OA所在的直線為x軸，y軸建立平面直角坐標系，拋物線y=ax²+bx+c經過O，D，C三點．
（1）求AD的長及拋物線的解析式；
（2）一動點P從點E出發，沿EC以每秒2個單位長的速度向點C運動，同時動點Q從點C出發，沿CO以每秒1個單位長的速度向點O運動，當點P運動到點C時，兩點同時停止運動．設運動時間為t秒，當t為何值時，以P、Q、C為頂點的三角形與△ADE相似？

Answer 1

分析 （1）根據折疊圖形的軸對稱性，△CED、△CBD全等，首先在Rt△CEO中求出OE的長，進而可得到AE的長；在Rt△AED中，AD=AB-BD、ED=BD，利用勾股定理可求出AD的長．進一步能確定D點坐標，利用待定系數法即可求出拋物線的解析式；
（2）分兩種情況進行討論：①當∠PQC=∠DAE=90°時，△ADE∽△QPC，②當∠QPC=∠DAE=90°時，△ADE∽△PQC，分別根據相似三角形的性質，得出關于t的方程，求得t的值．

解答 解：（1）∵四邊形ABCO為矩形，
∴∠OAB=∠AOC=∠B=90°，AB=CO=8，AO=BC=10．
由折疊的性質得，△BDC≌△EDC，
∴∠B=∠DEC=90°，EC=BC=10，ED=BD．
由勾股定理易得EO=6．
∴AE=10-6=4．
設AD=x，則BD=CD=8-x，
由勾股定理，得x²+4²=（8-x）²，
解得，x=3．
∴AD=3．
∴點D（-3，10）
∵拋物線y=ax²+bx+c過點O（0，0），
∴c=0．
∵拋物線y=ax²+bx+c過點D（-3，10），C（-8，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{9a-3b=10}\\{64a-8b=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{2}{3}}\\{b=-\frac{16}{3}}\end{array}\right.$．
∴拋物線的解析式為：y=-$\frac{2}{3}$x²-$\frac{16}{3}$x．

（2）∵∠DEA+∠OEC=90°，∠OCE+∠OEC=90°，
∴∠DEA=∠OCE，
由（1）可得，AD=3，AE=4，DE=5，
∵CQ=t，EP=2t，
∴PC=10-2t，
①當∠PQC=∠DAE=90°時，△ADE∽△QPC，
∴$\frac{CQ}{EA}$=$\frac{CP}{ED}$，即 $\frac{t}{4}$=$\frac{10-2t}{5}$，
解得t=$\frac{40}{13}$；
②當∠QPC=∠DAE=90°時，△ADE∽△PQC，
∴$\frac{PC}{AE}$=$\frac{CQ}{ED}$，即 $\frac{10-2t}{4}$=$\frac{t}{5}$，
解得t=$\frac{25}{7}$，
綜上所述，當t=$\frac{40}{13}$或 $\frac{25}{7}$時，以P、Q、C為頂點的三角形與△ADE相似．

點評 本題主要考查了相似三角形的判定與性質、矩形的性質及二次函數的綜合應用，解題時注意：折疊的性質疊種對稱變換，屬于對稱，折疊前后圖形的形和小不變，位變化，對邊和對應角相等．解題時注意分類思想的運用．