Question

13．如圖①，小華家陽臺上放置了一個有6級踏板的人字梯，如圖②是人字梯的側面示意圖，梯梁AB與CD相交于點C，現將人字梯完全穩固張開，B，D兩點立于水平地面，從下至上，HK是第1級，EF是第6級，每級踏板均與水平地面平行，相鄰兩級踏板間的距離相等，最上面的踏板EF恰好橫于AB，CD之間，經測量：AB=2m，CD=1.75m，EF=0.2m，AC=CE=EG=HB=CF=0.25m．
（1）求人字梯完全穩固張開時，梯子下端B，D間的距離；
（2）求梯梁AB與最上面踏板EF的夾角∠CEF的度數；
（3）小華家天花板距離地面3m，小華靜止站立時伸直手臂摸到的最大高度為2m，那么，小華要摸到天花板，至少要站在人字梯的第幾級踏板上？（參考數據：sin66.4°≈0.92，cos66.4°≈0.4，tan23.6°≈0.44）

Answer 1

分析 （1）由題意可知：EF∥BD，所以△CEF∽△CBD，利用對應邊的比相等即可求出BD的值．
（2）過點C作CI⊥BD于I點，由于CB=CD，所以點I是BD的中點，利用cos∠CBI的值即可求出∠CEF的度數．
（3）假設MN是小華，且MN=2，NJ是天花板，且IJ=3，過點M作MP⊥BD于點P，利用sin∠CBI=$\frac{MP}{BM}$求出BM的長度，然后即可求出需要站在第幾級上．

解答 解：（1）∵AB=2，AC=0.25，
∴CB=AB-AC=1.75
∵EF∥BD
∴△CEF∽△CBD
∴$\frac{CE}{CB}=\frac{EF}{BD}$
∴BD=1.4m
（2）過點C作CI⊥BD于I點，
∵CB=CD=1.75，
∴△CBD是等腰三角形．
∴BI=$\frac{1}{2}$BD=0.7
∴cos∠CBI=$\frac{BI}{CB}$=0.4
∴∠CBI≈66.4°，
∵EF∥BD
∴∠CEF=∠CBD=66.4°
（3）假設MN是小華，且MN=2，
NJ是天花板，且IJ=3，
過點M作MP⊥BD于點P，
∴MP=NP-MN=3-2=1，
∴sin∠CBI=$\frac{MP}{BM}$，
∴BM=$\frac{MP}{sin66.4°}$≈1.086，
由于相鄰兩級踏板間的距離相等，且BH=0.25
∴1.086÷0.25≈4.34
故小華要摸到天花板，至少要站在人字梯的第5級踏板上

點評 本題考查解直角三角形的應用，涉及等腰三角形的性質，相似三角形的判定與性質，銳角三角函數等知識．