Question

如圖，拋物線與x軸交于A（-1，0），B（3，0）兩點，與y軸交于點c（0，3）．
（1）求此拋物線所對應函數的表達式；
（2）若拋物線的頂點為D，在其對稱軸右側的拋物線上是否存在點P，使得△PCD為等腰三角形？若存在，求出符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）拋物線與x軸交于點（-1，0）和（3，0），
設表達式為y=a（x+1）（x-3），
又點（0，3）在拋物線上，則3=a×1×（-3），
∴a=-l
故所求的表達式為：y=-（x+1）（x-3），即y=-x²+2x+3．

（2）存在．
由y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4知，D點坐標為（1，4），對稱軸為x=1，
①若以CD為底邊，則PC=PD．設P點坐標為（a，b），
由勾股定理，得：a²+（3-b）²=（a-1）²+（4-b）^2，
即b=4-a．
又點P（a，b）在拋物線上，b=-a²+2a+3，
則4-a=-a²+2a+3．整理，得a²-3a+1=0，
解，得a1=

3+ 5

2

＞1，a2=

3- 5

2

＜1（不合題意，舍去）
∴a=

3+ 5

2

，
則b=4-

3+ 5

2

=

5- 5

2

，
P（

3+ 5

2

，

5- 5

2

）；
②若以CD為一腰，因點P在對稱軸右側的拋物線上，由拋物線對稱性知，點P與點C關于直線x=1對稱，
此時點P坐標為（2，3），
綜上所述，符合條件的點P坐標為（

3+ 5

2

，

5- 5

2

）或（2，3）．