Question

將一個量角器和一個含30度角的直角三角板如圖（1）放置，圖（2）是由它抽象出的幾何圖形，其中點B在半圓O的直徑DE的延長線上，AB切半圓O于點F，且BC=OD．
（1）求證：DB∥CF；
（2）當OD=2時，若以O、B、F為頂點的三角形與△ABC相似，求弧

EF

的長度．

Answer 1

分析：（1）根據切線性質得出∠OFB=90°，推出OF∥BC，OF=BC，得出平行四邊形OFCB，根據平行四邊形性質推出即可．
（2）分為兩種情況，根據弧長公式求出即可．

解答：（1）證明：∵這樣放置，BA和半圓只有一個交點F，
∴AB是半圓的切線，
即OF⊥AB，
∵∠ABC=90°，
∴∠OFB=∠ABC=90°，
∴OF∥BC，
∵BC=OD，OF=OD，
∴OF=BC，
∴四邊形OFCB是平行四邊形，
∴OB∥CF，
即DB∥CF．

（2）解：∵△ABC和△OFB相似，
∴分為兩種情況：①當∠FOB=∠A=30°時，弧

EF

的長度是

30π•2

180

=

π

3

；
②當∠FOB=∠ACB=60°時，弧

EF

的長度是

60π•2

180

=

2π

3

；
即弧

EF

的長度是

π

3

或

2π

3

．

點評：本題考查了相似三角形的性質，弧長公式，切線的性質和判定，平行四邊形的性質和判定的應用，主要考查學生的推理和計算能力．