Question

將一個量角器和一個含30度角的直角三角板如圖（1）放置，圖（2）是由它抽象出的幾何圖形，其中點B在半圓O的直徑DE的延長線上，AB切半圓O于點F，且BC=OD．
（1）求證：DB∥CF；
（2）當OD=2時，若以O、B、F為頂點的三角形與△ABC相似，求OB．

Answer 1

分析：（1）連接OF．判斷OBCF是平行四邊形；
（2）首先分析相似三角形的對應頂點，從而得到角對應相等，再運用解直角三角形的知識求解．

解答：（1）證明：連接OF，如圖．
∵AB切半圓O于F，
∴OF⊥AB．
∵CB⊥AB，∴BC∥OF．
∵BC=OD，OD=OF，
∴BC=OF．
∴四邊形OBCF是平行四邊形，
∴DB∥CF．

（2）解：以O、B、F為頂點的三角形與△ABC相似，∠OFB=∠ABC=90°．
∵∠OBF=∠BFC，∠BFC＞∠A，
∴∠OBF＞∠A，
∵△OFB與△ABC相似，
∴∠A與∠BOF是對應角．
∴∠BOF=30°．
∴OB=

OF

cos30°

=

4 3

3

；
故OB的長為

4 3

3

．

點評：此題綜合運用了平行四邊形的性質和判定．能夠正確分析相似三角形的對應頂點，從而得到有關的角對應相等．