Question

1．如圖1，已知線段AC∥y軸，點B在第一象限，且AO平分∠BAC，AB交y軸與G，連OB、OC．
（1）判斷△AOG的形狀，并予以證明；
（2）若點B、C關于y軸對稱，求證：?AG=GB；?AO⊥OB．
（3）在（2）的條件下，如圖2，點M為OA上一點，且∠ACM=45°，連接CB交y軸于P點，求證：OB=OM．

Answer 1

分析 （1）利用已知條件可證明∠GOA=∠GAO，由等腰三角形的判定可得AG=OG，所以△AOG是等腰三角形；
（2）由已知可得BK=KC，因為AC∥y軸，可得GA=GB；根據等腰三角形的性質得出∠GOB=∠GBO，∠AOG=∠OAG，所以∠AOG+∠BOG=∠OAG+∠OBG，即∠AOB=∠OAG+∠OBG，即可求得∠AOB=90°；
（3）先證得BM是∠ABC的平分線，設∠OBC=x，則x+∠POB=90°，而∠POA+∠POB=∠AOB=90°，求得x=∠POA，進一步證得x=∠GAM．根據∠OMB=∠GAM+∠ABM=x+∠ABM=x+∠PBM=∠MBO，即可證得結論．

解答 解：（1）等腰三角形，
∵AC∥y軸，
∴∠OAC=∠AOG，
∵∠OAC=∠OAG，
∴∠AOG=∠OAG，
∴AG=OG，
∴△AOG是等腰三角形；
（2）如圖1，設BC交y軸于K，
∵點B、C關于y軸對稱，
∴CK=BK，
∵AC∥y軸，
∴AG=BG，
∵AG=OG，
∴OG=BG，
∴∠GOB=∠GBO，
∵∠AOG=∠OAG，
∴∠AOG+∠BOG=∠OAG+∠OBG，即∠AOB=∠OAG+∠OBG，
∴∠AOB=90°
∴AO⊥BO．
（3）如圖2，∵∠ACM=45°，∠ACB=90°，
∴CM是∠ACB的平分線，
∵AM是∠BAC的平分線，
∴BM平分∠ABC，
設∠OBC=x，則x+∠POB=90°，而∠POA+∠POB=∠AOB=90°，
∴x=∠POA．
∵∠AOG=∠OAG，
∴x=∠GAM．
∴∠OMB=∠GAM+∠ABM
=x+∠ABM
=x+∠PBM
=∠MBO．
∴OB=OM．

點評 本題考查了角平分線的性質、軸對稱的性質、等腰三角形的判定和性質、三角形的內角和定理，題目的綜合性強，解題的關鍵是正確添加輔助線．