Question

【題目】閱讀材料：各類方程的解法

求解一元一次方程，根據等式的基本性質，把方程轉化為x=a的形式．求解二元一次方程組，把它轉化為一元一次方程來解；類似的，求解三元一次方程組，把它轉化為解二元一次方程組．求解一元二次方程，把它轉化為兩個一元一次方程來解．求解分式方程，把它轉化為整式方程來解，由于“去分母”可能產生增根，所以解分式方程必須檢驗．各類方程的解法不盡相同，但是它們有一個共同的基本數學思想轉化，把未知轉化為已知．

用“轉化”的數學思想，我們還可以解一些新的方程．例如，一元三次方程x3+x2﹣2x=0，可以通過因式分解把它轉化為x（x2+x﹣2）=0，解方程x=0和x2+x﹣2=0，可得方程x3+x2﹣2x=0的解．

（1）問題：方程x3+x2﹣2x=0的解是x1=0，x2=________，x3=________；

（2）拓展：用“轉化”思想求方程=x的解；

（3）應用：如圖，已知矩形草坪ABCD的長AD=8m，寬AB=3m，小華把一根長為10m的繩子的一端固定在點B，沿草坪邊沿BA，AD走到點P處，把長繩PB段拉直并固定在點P，然后沿草坪邊沿PD、DC走到點C處，把長繩剩下的一段拉直，長繩的另一端恰好落在點C．求AP的長．

Answer 1

【答案】（1）-2；1；（2）x=3；（3）AP的長為4m .

【解析】

（1）對方程左邊因式分解；(2)方程兩邊同時平方，得到一元二次方程，再因式分解；（3）根據題中的相等關系得到方程，再轉化為一元二次方程.

（1）-2；1

（2）解： =x，

方程的兩邊平方，得2x+3=x2

即x2﹣2x﹣3=0

（x﹣3）（x+1）=0

∴x﹣3=0或x+1=0

∴x1=3，x2=﹣1，

當x=﹣1時， = =1≠﹣1，

所以﹣1不是原方程的解．

所以方程 =x的解是x=3

（3）解：因為四邊形ABCD是矩形，

所以∠A=∠D=90°，AB=CD=3m

設AP=xm，則PD=（8﹣x）m

因為BP+CP=10，

BP= ，CP=

∴ + =10

∴ =10﹣

兩邊平方，得（8﹣x）2+9=100﹣20 +9+x2

整理，得5 =4x+9

兩邊平方并整理，得x2﹣8x+16=0

即（x﹣4）2=0

所以x=4．

經檢驗，x=4是方程的解．

答：AP的長為4m