解答題
①已知：如圖，在△ABC中，∠CAB=120°，AB=4，AC=2，AD⊥BC，D是垂足．求：AD的長．
②如圖，一個牧童在小河的南4km的A處牧馬，而他正位于他的小屋B的西8km北7km處，他想把他的馬牽到小河邊去飲水，然后回家．他要完成這件事情所走的最短路程是多少？

①解：過C作CE⊥BA交BA的延長線于E，

∵∠CAB=120°，
∴∠CAE=60°，
∴∠ACE=30°
∵AC=2，
∴AE= $\text{[math]}$ AC=1
∵在Rt△ACE中，由勾股定理可得：CE²=AC²-AE²=3，
∴CE= $\text{[math]}$ ，
在Rt△BCE中，由勾股定理可得：BC²=CE²+BE²=28，
∴BC= $\text{[math]}$
∵ $\text{[math]}$ AB×CE= $\text{[math]}$ CB×AD，
∴ $\text{[math]}$ ×4× $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ ×AD，
∴AD= $\text{[math]}$ ；
②解：

作A關于小河（EF）的對稱點C，連接BC交EF于P，則此時AP+BP最小，
過B作OB⊥AC于O，
則BO=8，CA=4+4=8，CO=8+7=15，
則PA+PB=PC+PB=BC= $\text{[math]}$ =17（km），
答：要完成這件事情所走的最短路程是17km．
分析：①過C作CE⊥BE交BA的延長線于E，求出∠ACE=30°，求出AE，CE，根據三角形面積公式得出AB×CE=CB×AD，代入求出即可；
②根據題意畫出P點的位置，得出A、C關于小河對稱，求出BO、CO，根據勾股定理求出BC，即可求出答案．
點評：本題考查了勾股定理、軸對稱-最短路線問題、含30度角的直角三角形的應用，解（1）的關鍵是得出關系式AB×CE=CB×AD和求出CB、CE的長，解（2）的關鍵是找出P點的位置．

練習冊系列答案

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科目：初中數學 來源： 題型：

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①已知：如圖，在△ABC中，∠CAB=120°，AB=4，AC=2，AD⊥BC，D是垂足．求：AD的長．

②如圖，一個牧童在小河的南4km的A處牧馬，而他正位于他的小屋B的西8km北7km處，他想把他的馬牽到小河邊去飲水，然后回家．他要完成這件事情所走的最短路程是多少？

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科目：初中數學 來源： 題型：閱讀理解

閱讀解答題：
已知如圖①，銳角△ABC中，AB、AC邊上的高CE、BD相交于O點．若∠A=n°，求∠BOC的度數．
解：∵CE、BD是高
∴∠BEO=90°，∠BDA=90°
在△ABD中，∵∠ADB=90°，∠A=n°
∴∠ABD=90°-n°
∴∠BOC=∠BEO+∠ABD=90°+90°-n°=180°-n°
即∠BOC的度數為（180-n）°
（1）若將題中已知條件“銳角△ABC”改為“鈍角△ABC，且∠A為鈍角”，其它條件不變（圖②），請你求出∠BOC的度數．
（2）若將題中已知條件“銳角△ABC”改為“鈍角△ABC，且∠B為鈍角”，其它條件不變（圖③），請你求出∠BOC的度數．

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科目：初中數學 來源： 題型：閱讀理解

根據所給的基本材料，請你進行適當的處理，編寫一道綜合題．
編寫要求：①提出具有綜合性、連續性的三個問題；②給出正確的解答過程；③寫出編寫意圖和學生答題情況的預測．
材料①：如圖，先把一矩形紙片ABCD對折，得到折痕MN，然后把B點疊在折痕線上，得到△ABE，再過點B把矩形ABCD第三次折疊，使點D落在直線AD上，得到折痕PQ．當沿著BE第四次將該紙片折疊后，點A就會落在EC上．

材料②：已知AC是∠MAN的平分線．
（1）在圖1中，若∠MAN=120°，∠ABC=ADC=90°，求證：AB+AD=AC；
（2）在圖2中，若∠MAN=120°，∠ABC+∠ADC=180°，則（1）中的結論是否仍然成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由；
（3）在圖3中：若∠MAN=α（0°＜α＜180°），∠ABC+∠ADC=180°，
則AB+AD=

AC（用含α的三角函數表示）．

材料③：
已知：如圖甲，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm，點P由B出發沿線段BA向點A勻速運動，速度為1cm/s；點Q由A出發沿線段AC向點C勻速運動，速度為2cm/s；連接PQ，設運動的時間為t（s）（0＜t＜2）．

編寫試題選取的材料是

（填寫材料的序號）
編寫的試題是：（1）設△AQP的面積為y（cm²），求y與t之間的函數關系式．
（2）是否存在某一時刻t，使線段PQ恰好把Rt△ACB的周長和面積同時平分？若存在，求出此時t的值．
（3）如圖（2），連接PC，并把△PQC沿QC翻折得到四邊形PQP'C．是否存在某一時刻t，使四邊形PQP'C為菱形？若存在，求出此時菱形的邊長．
試題解答（寫出主要步驟即可）：（1）過點Q作QD⊥AP于點D，證△AQD∽△ABC，利用相似性質及面積解答；
（2）分別求得Rt△ACB的周長和面積，由周長求出t，代入函數解析式驗證；
（3）利用余弦定理得出PC、PQ，聯立方程，求得t，再代入PC解得答案．

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科目：初中數學 來源：新課標教材導學　　數學八年級第一學期 題型：047

解答題：

已知：如圖在平行四邊形ABCD中，E、F分別是AB、CD的中點，AF與DE相交于點G，CE與BF相交于點H．試說明：四邊形EHFG是平行四邊形．