Question

根據所給的基本材料，請你進行適當的處理，編寫一道綜合題．
編寫要求：①提出具有綜合性、連續性的三個問題；②給出正確的解答過程；③寫出編寫意圖和學生答題情況的預測．
材料①：如圖，先把一矩形紙片ABCD對折，得到折痕MN，然后把B點疊在折痕線上，得到△ABE，再過點B把矩形ABCD第三次折疊，使點D落在直線AD上，得到折痕PQ．當沿著BE第四次將該紙片折疊后，點A就會落在EC上．

材料②：已知AC是∠MAN的平分線．
（1）在圖1中，若∠MAN=120°，∠ABC=ADC=90°，求證：AB+AD=AC；
（2）在圖2中，若∠MAN=120°，∠ABC+∠ADC=180°，則（1）中的結論是否仍然成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由；
（3）在圖3中：若∠MAN=α（0°＜α＜180°），∠ABC+∠ADC=180°，
則AB+AD=

 

AC（用含α的三角函數表示）．

材料③：
已知：如圖甲，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm，點P由B出發沿線段BA向點A勻速運動，速度為1cm/s；點Q由A出發沿線段AC向點C勻速運動，速度為2cm/s；連接PQ，設運動的時間為t（s）（0＜t＜2）．

編寫試題選取的材料是

 

（填寫材料的序號）
編寫的試題是：（1）設△AQP的面積為y（cm²），求y與t之間的函數關系式．
（2）是否存在某一時刻t，使線段PQ恰好把Rt△ACB的周長和面積同時平分？若存在，求出此時t的值．
（3）如圖（2），連接PC，并把△PQC沿QC翻折得到四邊形PQP'C．是否存在某一時刻t，使四邊形PQP'C為菱形？若存在，求出此時菱形的邊長．
試題解答（寫出主要步驟即可）：（1）過點Q作QD⊥AP于點D，證△AQD∽△ABC，利用相似性質及面積解答；
（2）分別求得Rt△ACB的周長和面積，由周長求出t，代入函數解析式驗證；
（3）利用余弦定理得出PC、PQ，聯立方程，求得t，再代入PC解得答案．

Answer 1

分析：（1）過點Q作QD⊥AP于點D，利用相似三角形的判定與性質和三角形的面積解答；
（2）求得三角形的周長和面積，建立方程求得t，再代入函數解析式驗證即可；
（3）由余弦定理分別用t表示PC、PQ，聯立方程解決問題．

解答：解：（1）過點Q作QD⊥AP于點D，則易證△AQD∽△ABC，
∴AQ：QD=AB：BC，
∴2t：DQ=5：3，
∴DQ=

6

5

t，
∴S_△APQ=

1

2

×AP×QD=

1

2

（5-t）×

6

5

t，
∴y與t之間的函數關系式為：y=-

3

5

t²+3t；

（2）Rt△ACB的周長=3+4+5=12，Rt△ACB的面積=

1

2

×3×4=6，PQ恰好把Rt△ACB的周長平分．
即有AP+AQ=12÷2=6，即2t+5-t=6得t=1，PQ恰好把Rt△ACB的面積平分，
即有S_APQ=

1

2

×6=3；即y=-

3

5

t²+3t=3，
顯然，代入t=1等式不成立，
所以不存在某一時刻t，使線段PQ恰好把Rt△ACB的周長和面積同時平分；

（3）由題意可以知道，四邊形PQP'C為菱形，那么PC=PQ，
因為 PC²=PB²+CB²-2×PB×CB×cosB，
（由圖知道cosB=0.6）=t²+3²-2t×3×0.6，
PQ²=AP²+AQ²-2×AP×AQ×cosA，
（由圖知道cosA=0.8）=（5-t）²+（2t）²-2×（5-t）×2t×0.8，
∵PC=PQ，即t²+3²-2t×3×0.6=（5-t）²+（2t）²-2×（5-t）×2t×0.8），
解得t₁=2（因為0＜t＜2舍去），t₂=

10

9

，
把t=

10

9

代入，PC²=t²+3²-2t×3×0.6，
解得PC=

505

9

；
因此菱形的邊長為

505

9

cm．

點評：此題綜合考查三角形的面積、勾股定理、余弦定理以及菱形的性質等知識．