Question

【題目】若是關于的函數，是常數（），若對于此函數圖象上的任意兩點，，都有，則稱該函數為有界函數，其中滿足條件的所有常數的最小值，稱為該函數的界高.

例如：下圖所表示的函數的界高為4.

（1）求函數的界高；

（2）已知，若函數的界高為4，求實數的取值范圍；

（3）已知，函數的界高為，求的值.

Answer 1

【答案】(1) 界高為9;(2) ;(3)

【解析】

（1）根據函數（）的性質，在取最小值0，在取最大值9，由此可求函數的界高；

（2）把代入拋物線的解析式得：，解得，從而，進一步即得m的取值范圍是；

（3）因為拋物線的對稱軸是直線x=a，而，函數中的x的取值范圍是，所以要對a分情況求解；

當時，由二次函數的性質可知，函數在x=－2時，取得最大值，在x=1時取得最小值，將代入函數解析式求得，然后根據，可求a的值；

當時，同樣的思路將代入函數解析式得，再根據，亦可求得a的值；最后綜合得出結果.

解（1）函數（）在取最小值，在取最大值

∵

∴界高為9.

（2）將代入拋物線的解析式得：，解得：

∴

∴的取值范圍是

（3）當時，由二次函數的性質可知，函數在x=－2時，取得最大值，在x=1時取得最小值，于是將代入函數解析式求得，

∵

∴

解得：

又∵

故此種情況不成立；

當時，同理將代入函數解析式得：，

∵

∴

解得：（舍去）

故