Question

【題目】如圖，在等腰三角形ABC中，∠BAC=120°，AB=AC=2，點D是BC邊上的一個動點（不與B、C重合），在AC上取一點E，使∠ADE=30°．

（1）求證：△ABD∽△DCE；

（2）設BD=x，AE=y，求y關于x的函數關系式并寫出自變量x的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）答案見解析；（2）（0＜x＜）．

【解析】試題分析：（1）根據兩角相等得到△ABD∽△DCE；

（2）如圖1，作高AF，根據直角三角形30°的性質求AF的長，根據勾股定理求BF的長，則可得BC的長，根據（1）中的相似列比例式可得函數關系式，并確定取值．

（1）∵△ABC是等腰三角形，且∠BAC=120°，∴∠ABD=∠ACB=30°，∴∠ABD=∠ADE=30°，∵∠ADC=∠ADE+∠EDC=∠ABD+∠DAB，∴∠EDC=∠DAB，∴△ABD∽△DCE；

（2）如圖1，∵AB=AC=2，∠BAC=120°，過A作AF⊥BC于F，∴∠AFB=90°，∵AB=2，∠ABF=30°，∴AF=AB=1，∴BF=，∴BC=2BF=，則DC=﹣x，EC=2﹣y，∵△ABD∽△DCE，∴，∴，化簡得： （0＜x＜）．