Question

如圖，已知拋物線y=x²+6x+5交x軸于A、B兩點，交y軸于點C，拋物線的對稱軸交x軸于點E，點B的坐標為（-1，0）．
（1）求拋物線的對稱軸及點A的坐標；
（2）在平面直角坐標系xOy中是否存在點P，與A、B、C三點構成一個平行四邊形？若存在，請直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由；
（3）連結CA與拋物線的對稱軸交于點D，在拋物線上是否存在點M，使得直線EM把四邊形DEOC分成面積相等的兩部分？若存在，請求出直線EM的解析式；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：二次函數綜合題,待定系數法求一次函數解析式,平行四邊形的性質,平移的性質

專題：綜合題

分析：（1）只需根據對稱軸方程x=-

b

2a

就可求出該拋物線的對稱軸，只需令y=0就可求出點A的坐標；
（2）可分AB為平行四邊形的一邊和對角線兩種情況討論，然后利用平行四邊形的性質和平移的性質就可解決問題；
（3）設直線EM與y軸交于點F，可先求出點D的坐標，然后求出四邊形DEOC的面積，即可得到△EOF的面積，就可求出點F的坐標，然后運用待定系數法就可求出直線EM的解析式．

解答：解：（1）拋物線的對稱軸為x=-

6

2×1

=-3；
當y=0時，有x²+6x+5=0，
解得：x₁=-1，x₂=-5，
∴點A的坐標為（-5，0）．

（2）當x=0時，y=5，則點C的坐標為（0，5）．
①若AB為平行四邊形的一邊，如圖1，
則有PC∥AB，PC=AB=-1-（-5）=4，
∴點P的坐標為（0+4，5）或（0-4，5），
即點P的坐標為（4，5）或（-4，5）；
②若AB為平行四邊形的一條對角線，如圖1，
則有BP∥CA，BP=CA．
∵點C（0，5）向左平移5個單位再向下平移5個單位到點A（-5，0），
∴點B（-1，0）向左平移5個單位再向下平移5個單位到點P，
∴點P的坐標為（-1-5，0-5）即（-6，-5）．
綜上所述：滿足條件的點P有三個，分別為（4，5），（-4，5），（-6，-5）．

（3）在拋物線上存在點M，使得直線EM把四邊形DEOC分成面積相等的兩部分．
設直線EM與y軸交于點F，則有S_△EOF=

1

2

S_梯形EOCD．
∵點A（-5，0），點E（-3，0），點C（0，5），
∴OA=OC=5，OE=3，AE=OA-OE=5-3=2．
∵∠AOC=90°，∴∠OAC=∠OCA=45°．
∵DE⊥x軸，∴∠EDA=∠EAD=45°，
∴ED=EA=2，
∴S_梯形EOCD=

1

2

（ED+OC）•OE=

1

2

×（2+5）×3=

21

2

，
∴S_△EOF=

1

2

×

21

2

=

21

4

，
∴

1

2

OE•OF=

1

2

×3×OF=

21

4

，
∴OF=

7

2

，
∴點F為（0，

7

2

）．
設直線EM的解析式為y=kx+b，
∵直線EM經過點E（-3，0）和點F（0，

7

2

），
∴

-3k+b=0 b= 7 2

，
解得：

k= 7 6 b= 7 2

，
∴直線EM的解析式為y=

7

6

x+

7

2

．

點評：本題主要考查了用待定系數法求直線的解析式、拋物線的性質、平行四邊形的性質、旋轉的性質、等腰三角形的判定與性質等知識，運用分類討論的思想是解決第（2）小題的關鍵．